Номер 1088, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1088. Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5 раз.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что такое натуральное число, которое от перестановки первой цифры в конец увеличивается в 5 раз, существует. Обозначим это число как $N$.

Пусть число $N$ состоит из $n$ цифр, где $n$ — натуральное число. Обозначим его первую цифру как $a$, а число, образованное оставшимися $n-1$ цифрами, как $B$. Тогда исходное число $N$ можно представить в виде:

$N = a \cdot 10^{n-1} + B$

В этой записи $a$ является цифрой от 1 до 9 (так как это первая цифра натурального числа), а $B$ — это целое неотрицательное число, которое имеет не более $n-1$ знаков, что означает $0 \le B < 10^{n-1}$.

Новое число, обозначим его $N'$, получается, когда мы переносим первую цифру $a$ в конец. Это эквивалентно тому, что мы берем число $B$ и дописываем к нему справа цифру $a$. Математически это записывается как:

$N' = 10 \cdot B + a$

Согласно условию задачи, новое число в 5 раз больше исходного:

$N' = 5N$

Подставим в это равенство наши выражения для $N$ и $N'$:

$10B + a = 5(a \cdot 10^{n-1} + B)$

Теперь решим это уравнение относительно $B$:

$10B + a = 5a \cdot 10^{n-1} + 5B$

$10B - 5B = 5a \cdot 10^{n-1} - a$

$5B = a(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$

Из полученного уравнения видно, что левая часть ($5B$) делится на 5. Следовательно, и правая часть $a(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$ также должна делиться на 5. Рассмотрим множитель $(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$. При любом $n \ge 1$, число $5 \cdot 10^{n-1}$ является числом, которое оканчивается на 0 (например, 5, 50, 500...). Тогда число $(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$ будет оканчиваться на 9 (например, 4, 49, 499...). Число, оканчивающееся на 9, не может делиться на 5. Отсюда следует, что на 5 должен делиться другой множитель в правой части, то есть $a$.

Поскольку $a$ — это первая цифра числа, она принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Единственная цифра из этого множества, которая делится на 5, — это $a=5$.

Подставим это значение $a=5$ в наше уравнение для $B$:

$5B = 5(5 \cdot 10^{n-1} - 1)$

Разделив обе части на 5, получим выражение для $B$:

$B = 5 \cdot 10^{n-1} - 1$

Теперь нам нужно проверить, совместимо ли это значение $B$ с первоначальным ограничением $B < 10^{n-1}$. Подставим наше выражение для $B$ в это неравенство:

$5 \cdot 10^{n-1} - 1 < 10^{n-1}$

Перенесем $10^{n-1}$ в левую часть, а $-1$ в правую:

$5 \cdot 10^{n-1} - 10^{n-1} < 1$

$4 \cdot 10^{n-1} < 1$

Это неравенство не выполняется ни для одного натурального $n \ge 1$. Если $n=1$, то $4 \cdot 10^0 = 4$, и $4 < 1$ — ложно. Если $n > 1$, то $10^{n-1}$ будет 10 или больше, и $4 \cdot 10^{n-1}$ будет 40 или больше, что тем более не меньше 1.

Мы пришли к противоречию. Наше предположение о том, что такое число $N$ существует, привело к неверному неравенству. Следовательно, исходное предположение было ложным.

Ответ: Доказано, что такого натурального числа не существует.