Номер 1091, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1091. Изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют системе:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ |x| \ge 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ |y| \ge 2. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| \ge 1 \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ описывает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$. Это множество задает две полуплоскости: одна справа от вертикальной прямой $x = 1$ (включая саму прямую), а другая — слева от вертикальной прямой $x = -1$ (включая саму прямую). Вместе они образуют всю координатную плоскость, за исключением открытой вертикальной полосы, заданной неравенством $-1 < x < 1$.

Для того чтобы найти множество точек, удовлетворяющих системе, необходимо найти пересечение (общую часть) множеств, заданных каждым из неравенств. Это означает, что из круга $x^2 + y^2 \le 4$ нужно выбрать только те точки, у которых абсцисса $x$ удовлетворяет условию $|x| \ge 1$.

В результате мы получаем круг радиуса 2 с центром в начале координат, из которого вырезана центральная вертикальная полоса. Границы фигуры (части окружности и отрезки прямых $x=1$ и $x=-1$) включаются в искомое множество, так как неравенства в системе нестрогие.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат, из которого удалена открытая вертикальная полоса $-1 < x < 1$. Границы фигуры принадлежат множеству.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ |y| \ge 2 \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ описывает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|y| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $y \ge 2$ или $y \le -2$. Это множество задает две полуплоскости: одна выше горизонтальной прямой $y = 2$ (включая саму прямую), а другая — ниже горизонтальной прямой $y = -2$ (включая саму прямую). Вместе они образуют всю координатную плоскость, за исключением открытой горизонтальной полосы, заданной неравенством $-2 < y < 2$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это означает, что из круга $x^2 + y^2 \le 9$ нужно выбрать только те точки, у которых ордината $y$ удовлетворяет условию $|y| \ge 2$.

В результате мы получаем два сегмента круга радиуса 3. Один сегмент находится выше прямой $y=2$, а другой — ниже прямой $y=-2$. Так как все неравенства нестрогие, границы сегментов (дуги окружности и хорды, лежащие на прямых $y=2$ и $y=-2$) принадлежат искомому множеству.

Ответ: Искомое множество точек — это два сегмента, полученные из замкнутого круга $x^2 + y^2 \le 9$ путем удаления открытой горизонтальной полосы $-2 < y < 2$. Все границы фигуры принадлежат множеству.