Номер 1092, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1092. В мешке содержится 2 чёрных и 2 белых шара. Рассматриваются события:

A — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета;

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов.

Игорь считает, что $P(A) = P(B)$, а Олег считает, что $P(A) < P(B)$. Кто из них прав?

Для решения задачи определим вероятности каждого из событий A и B. Всего в мешке 4 шара (2 чёрных + 2 белых). Эксперимент состоит в извлечении 2 шаров.

Сначала найдём общее число элементарных исходов. Это количество способов выбрать 2 шара из 4 без учёта порядка, то есть число сочетаний из 4 по 2.

Общее число исходов $N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

А — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета

Событие A наступает, если извлечены либо два чёрных шара, либо два белых шара.
Количество способов извлечь 2 чёрных шара из 2 имеющихся равно $C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$.
Количество способов извлечь 2 белых шара из 2 имеющихся также равно $C_2^2 = 1$.
Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $N(A) = C_2^2 + C_2^2 = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов

Событие B наступает, если извлечён один чёрный и один белый шар.
Количество способов извлечь 1 чёрный шар из 2 равно $C_2^1 = 2$.
Количество способов извлечь 1 белый шар из 2 равно $C_2^1 = 2$.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, число исходов, благоприятствующих событию B, равно $N(B) = C_2^1 \cdot C_2^1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Вероятность события B равна:
$P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Теперь сравним вероятности $P(A)$ и $P(B)$:
$P(A) = \frac{1}{3}$
$P(B) = \frac{2}{3}$
Так как $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, то $P(A) < P(B)$.

Игорь считал, что $P(A) = P(B)$, а Олег — что $P(A) < P(B)$. Сравнение вероятностей показывает, что прав Олег.

Ответ: Олег прав.