Номер 1093, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1093. В мешке содержится 1 чёрный и 3 белых шара. Рассмотрите события:

A — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета;

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов.

Сравните $P(A)$ и $P(B)$.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Всего в мешке находится $1 + 3 = 4$ шара. Из мешка наугад извлекают 2 шара. Общее число способов сделать это, то есть общее число элементарных исходов, равно числу сочетаний из 4 элементов по 2:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Далее найдем вероятности каждого из указанных событий.

A — наугад извлечённые 2 шара оказываются одного цвета.

Событие A наступает, если оба извлеченных шара одного цвета. Поскольку в мешке только 1 черный шар, извлечь 2 черных шара невозможно. Следовательно, событие A может произойти, только если оба извлеченных шара — белые. Число благоприятных исходов для события A равно количеству способов выбрать 2 белых шара из 3 имеющихся:

$m_A = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

B — наугад извлечённые 2 шара оказываются разных цветов.

Событие B наступает, если извлечены шары разных цветов, то есть 1 черный и 1 белый. Найдем число благоприятных исходов для этого события. Количество способов выбрать 1 черный шар из 1 имеющегося равно $C_1^1 = 1$. Количество способов выбрать 1 белый шар из 3 имеющихся равно $C_3^1 = 3$. Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов извлечь 1 черный и 1 белый шар равно:

$m_B = C_1^1 \times C_3^1 = 1 \times 3 = 3$

Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Сравнение P(A) и P(B).

Мы вычислили вероятности обоих событий: $P(A) = \frac{1}{2}$ и $P(B) = \frac{1}{2}$. Сравнивая эти значения, мы приходим к выводу, что они равны.

Ответ: $P(A) = P(B)$.