Номер 1087, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1087. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Поскольку разность их квадратов положительна ($45$), одно число должно быть больше другого. Пусть $x > y$.

Согласно условию задачи, составим уравнение:

$x^2 - y^2 = 45$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для левой части уравнения:

$(x - y)(x + y) = 45$

Поскольку $x$ и $y$ являются натуральными числами (то есть $1, 2, 3, \dots$), то выражения $(x-y)$ и $(x+y)$ являются целыми числами. Так как $x > y \ge 1$, то $(x-y)$ — это натуральное число, и $(x+y)$ — это также натуральное число. Кроме того, очевидно, что $(x+y) > (x-y)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению пар натуральных множителей числа 45, где $(x-y)$ является меньшим множителем, а $(x+y)$ — большим.

Разложим число 45 на пары множителей:

• $1 \times 45$
• $3 \times 15$
• $5 \times 9$

Рассмотрим каждый случай отдельно, решая систему линейных уравнений.

Случай 1: Множители 1 и 45.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 45 \end{cases}$

Сложим оба уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 45 \Rightarrow 2x = 46 \Rightarrow x = 23$.
Подставим значение $x$ во второе уравнение: $23 + y = 45 \Rightarrow y = 22$.
Получили первую пару натуральных чисел (23, 22).

Случай 2: Множители 3 и 15.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 15 \end{cases}$

Сложим оба уравнения: $(x - y) + (x + y) = 3 + 15 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9$.
Подставим значение $x$: $9 + y = 15 \Rightarrow y = 6$.
Получили вторую пару натуральных чисел (9, 6).

Случай 3: Множители 5 и 9.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 9 \end{cases}$

Сложим оба уравнения: $(x - y) + (x + y) = 5 + 9 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$.
Подставим значение $x$: $7 + y = 9 \Rightarrow y = 2$.
Получили третью пару натуральных чисел (7, 2).

Мы нашли все возможные пары натуральных чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: искомыми числами могут быть следующие пары: 23 и 22; 9 и 6; 7 и 2.