Номер 1083, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1083. Докажите, что значение выражения

$(5 + 10^{n+1})(1 + 10 + \dots + 10^n) + 1$

при любом натуральном $n$ можно представить в виде квадрата натурального числа.

Для доказательства утверждения преобразуем данное выражение. Обозначим его как $A$.

$A = (5 + 10^{n+1})(1 + 10 + ... + 10^n) + 1$

Сумма во второй скобке $S_n = 1 + 10 + ... + 10^n$ является суммой первых $n+1$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 10$.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии $S_k = b_1 \frac{q^k - 1}{q-1}$. В нашем случае количество членов $k = n+1$.

$S_n = 1 \cdot \frac{10^{n+1} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{n+1} - 1}{9}$

Теперь подставим полученное выражение для суммы обратно в исходное выражение $A$:

$A = (5 + 10^{n+1}) \cdot \frac{10^{n+1} - 1}{9} + 1$

Для упрощения дальнейших вычислений введем замену: пусть $x = 10^{n+1}$.

$A = (5 + x) \cdot \frac{x - 1}{9} + 1$

Выполним умножение и приведем всё к общему знаменателю:

$A = \frac{(5 + x)(x - 1)}{9} + \frac{9}{9} = \frac{5x - 5 + x^2 - x + 9}{9} = \frac{x^2 + 4x + 4}{9}$

Мы видим, что числитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом выражения $(x+2)$, то есть $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Знаменатель $9$ также является квадратом числа $3$, то есть $9 = 3^2$.

Тогда всё выражение можно записать в виде квадрата:

$A = \frac{(x+2)^2}{3^2} = \left(\frac{x+2}{3}\right)^2$

Вернемся к исходной переменной, подставив обратно $x = 10^{n+1}$:

$A = \left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$

Чтобы доказать, что это выражение является квадратом натурального числа, необходимо показать, что основание степени, то есть дробь $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$, является натуральным числом при любом натуральном $n$.

Для этого докажем, что числитель $10^{n+1} + 2$ делится на 3 без остатка. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Число $10^{n+1}$ — это единица, за которой следует $n+1$ нулей (например, $100$, $1000$ и т.д.). Число $10^{n+1} + 2$ будет состоять из цифры 1, за которой следуют $n$ нулей, и последней цифры 2. Например, при $n=1$ это $10^2+2=102$; при $n=2$ это $10^3+2=1002$.

Сумма цифр числа $10^{n+1} + 2$ равна $1 + \underbrace{0 + ... + 0}_{n \text{ нулей}} + 2 = 3$.

Поскольку сумма цифр (равная 3) делится на 3, то и само число $10^{n+1} + 2$ делится на 3 при любом натуральном $n$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $10^{n+1} + 2$ — положительное число, и результат деления $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ будет натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение всегда равно квадрату натурального числа.

Ответ: Исходное выражение можно представить в виде $\left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$. Так как при любом натуральном $n$ число $10^{n+1} + 2$ делится на 3 нацело, то значение $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение является квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.