Номер 1076, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1076. Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$;

б) $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$.

а) Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7}$ и $b = \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$. Тогда $x = a-b$, и уравнение для $x$ примет вид:

$x^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$

Найдем значения выражений $a^3 - b^3$ и $ab$.

$a^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7})^3 = 5\sqrt{2} + 7$

$b^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3 = 5\sqrt{2} - 7$

$a^3 - b^3 = (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14$

$ab = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = \sqrt[3]{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)}$

Применив формулу разности квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$ под корнем, получаем:

$ab = \sqrt[3]{(5\sqrt{2})^2 - 7^2} = \sqrt[3]{25 \cdot 2 - 49} = \sqrt[3]{50 - 49} = \sqrt[3]{1} = 1$

Теперь подставим найденные значения в уравнение для $x^3$, помня, что $a-b = x$:

$x^3 = 14 - 3 \cdot 1 \cdot x$

$x^3 + 3x - 14 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти его целый корень среди делителей свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.

Подставим $x=2$: $2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.

Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:

$(x^3 + 3x - 14) : (x-2) = x^2 + 2x + 7$

Уравнение принимает вид: $(x-2)(x^2 + 2x + 7) = 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 7$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.

Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2 + 2x + 7 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, единственным действительным решением является $x=2$.

Ответ: 2.

б) Обозначим данное выражение через $y$:

$y = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}$ и $b = \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$. Тогда $y = a+b$, и уравнение для $y$ примет вид:

$y^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

Найдем значения выражений $a^3 + b^3$ и $ab$.

$a^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^3 = 2 + \sqrt{5}$

$b^3 = (\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3 = 2 - \sqrt{5}$

$a^3 + b^3 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4$

$ab = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}$

Применив формулу разности квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$ под корнем, получаем:

$ab = \sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt[3]{4 - 5} = \sqrt[3]{-1} = -1$

Теперь подставим найденные значения в уравнение для $y^3$, помня, что $a+b = y$:

$y^3 = 4 + 3 \cdot (-1) \cdot y$

$y^3 + 3y - 4 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти его целый корень среди делителей свободного члена (-4): $\pm1, \pm2, \pm4$.

Подставим $y=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Значит, $y=1$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $y^3 + 3y - 4$ на $(y-1)$:

$(y^3 + 3y - 4) : (y-1) = y^2 + y + 4$

Уравнение принимает вид: $(y-1)(y^2 + y + 4) = 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $y^2 + y + 4$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку $D < 0$, уравнение $y^2 + y + 4 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, единственным действительным решением является $y=1$.

Ответ: 1.