Номер 1074, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1074. Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Пусть три искомых целых числа образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, a_3$ с разностью $d$. Поскольку числа целые, их разность $d$ также является целым числом.

По условию, первый член прогрессии $a_1 = 1$. Тогда члены прогрессии можно выразить через $d$:

$a_1 = 1$

$a_2 = 1 + d$

$a_3 = 1 + 2d$

Далее производятся следующие преобразования: ко второму члену прибавляют 3, а третий возводят в квадрат. Первый член остается неизменным. В результате получается новая последовательность $b_1, b_2, b_3$, которая является геометрической прогрессией.

$b_1 = a_1 = 1$

$b_2 = a_2 + 3 = (1 + d) + 3 = 4 + d$

$b_3 = (a_3)^2 = (1 + 2d)^2$

Для любой геометрической прогрессии справедливо свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух соседних. Для нашей последовательности это означает: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим выражения для $b_1, b_2, b_3$ в это равенство:

$(4 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2$

$(4 + d)^2 = (1 + 2d)^2$

Это уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

$4 + d = 1 + 2d$ или $4 + d = -(1 + 2d)$.

Решим первое уравнение:

$4 - 1 = 2d - d$

$d_1 = 3$

Решим второе уравнение:

$4 + d = -1 - 2d$

$3d = -5$

$d_2 = -\frac{5}{3}$

По условию задачи, исходные числа — целые. Это возможно, только если разность прогрессии $d$ — целое число. Поэтому значение $d = -\frac{5}{3}$ не подходит, так как привело бы к нецелым членам прогрессии (например, $a_2 = 1 - 5/3 = -2/3$).

Следовательно, единственное подходящее значение разности $d=3$.

Теперь найдем искомые числа, подставив $d=3$ в выражения для членов арифметической прогрессии:

$a_1 = 1$

$a_2 = 1 + 3 = 4$

$a_3 = 1 + 2 \cdot 3 = 1 + 6 = 7$

Проверка: исходные числа 1, 4, 7 образуют арифметическую прогрессию ($d=3$). Новые числа: 1, $4+3=7$, $7^2=49$. Последовательность 1, 7, 49 является геометрической прогрессией со знаменателем $q=7$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 1, 4, 7.