Номер 1079, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1079. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0, \\ x + y + z = 8, \\ xy = -z^2. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0 & (1) \\ x + y + z = 8 & (2) \\ xy = -z^2 & (3) \end{cases}$

Из третьего уравнения выразим $2z^2 = -2xy$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + y^2 - (-2xy) = 0$

$x^2 + y^2 + 2xy = 0$

Левая часть полученного уравнения является полным квадратом суммы:

$(x+y)^2 = 0$

Из этого следует, что $x+y=0$.

Теперь подставим полученное равенство $x+y=0$ во второе уравнение системы $x+y+z=8$:

$0 + z = 8$

$z = 8$

Зная значение $z$, можем найти произведение $xy$ из третьего уравнения:

$xy = -z^2 = -8^2 = -64$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для переменных $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y=0 \\ xy=-64 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y=-x$. Подставим это во второе уравнение:

$x(-x) = -64$

$-x^2 = -64$

$x^2 = 64$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

1. Если $x_1 = 8$, то $y_1 = -x_1 = -8$.

2. Если $x_2 = -8$, то $y_2 = -x_2 = -(-8) = 8$.

Таким образом, мы получили два решения системы в виде троек $(x, y, z)$:

Первое решение: $(8, -8, 8)$.

Второе решение: $(-8, 8, 8)$.

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему.

Для $(8, -8, 8)$:

$8^2 + (-8)^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 128 = 0$

$8 + (-8) + 8 = 8$

$8 \cdot (-8) = -64$ (совпадает с $-z^2 = -8^2 = -64$)

Для $(-8, 8, 8)$:

$(-8)^2 + 8^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 128 = 0$

$-8 + 8 + 8 = 8$

$(-8) \cdot 8 = -64$ (совпадает с $-z^2 = -8^2 = -64$)

Оба решения верны.

Ответ: $(8, -8, 8)$, $(-8, 8, 8)$.