Номер 1072, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1072. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, они образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что существует такое число $q$ (знаменатель прогрессии, $q \ne 0$), что $b = a \cdot q$ и $c = b \cdot q = a \cdot q^2$.

Обозначим высоты треугольника, опущенные на стороны $a$, $b$ и $c$, как $h_a$, $h_b$ и $h_c$ соответственно.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить, используя любую из сторон и соответствующую ей высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$.

Из этого равенства мы можем выразить высоты через площадь $S$ и длины сторон:

$h_a = \frac{2S}{a}$
$h_b = \frac{2S}{b}$
$h_c = \frac{2S}{c}$

Чтобы доказать, что высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$ образуют геометрическую прогрессию, нам нужно показать, что отношение последующего члена к предыдущему является постоянной величиной, то есть $\frac{h_b}{h_a} = \frac{h_c}{h_b}$.

Рассмотрим отношение $\frac{h_b}{h_a}$:

$\frac{h_b}{h_a} = \frac{2S/b}{2S/a} = \frac{2S}{b} \cdot \frac{a}{2S} = \frac{a}{b}$

Теперь рассмотрим отношение $\frac{h_c}{h_b}$:

$\frac{h_c}{h_b} = \frac{2S/c}{2S/b} = \frac{2S}{c} \cdot \frac{b}{2S} = \frac{b}{c}$

Поскольку по условию задачи стороны $a$, $b$, $c$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$, мы имеем:

$\frac{b}{a} = q$ и $\frac{c}{b} = q$

Следовательно, для обратных отношений, которые мы получили для высот, верно:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{q}$ и $\frac{b}{c} = \frac{1}{q}$

Таким образом, мы получаем:

$\frac{h_b}{h_a} = \frac{a}{b} = \frac{1}{q}$

$\frac{h_c}{h_b} = \frac{b}{c} = \frac{1}{q}$

Поскольку $\frac{h_b}{h_a} = \frac{h_c}{h_b} = \frac{1}{q}$, это означает, что последовательность высот $h_a, h_b, h_c$ является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{q}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$, то его высоты, проведенные к этим сторонам, также образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{1}{q}$.