Номер 1078, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1078. Решите уравнение с двумя переменными $x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 7 = 0.$

Исходное уравнение: $x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 7 = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Из-за наличия выражения $\sqrt{y}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $y \ge 0$. Для переменной $x$ ограничений нет.

Для решения данного уравнения применим метод выделения полных квадратов. Сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$. Константу $7$ представим в виде суммы двух чисел: $7 = 3 + 4$.

Перепишем уравнение следующим образом:

$(x^2 + 2\sqrt{3}x + 3) + (y - 4\sqrt{y} + 4) = 0$

Теперь заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

• Первое выражение $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3$ является полным квадратом суммы, так как $(\sqrt{3})^2 = 3$. Таким образом, $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = (x + \sqrt{3})^2$.
• Второе выражение $y - 4\sqrt{y} + 4$ можно представить как $(\sqrt{y})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{y} + 2^2$, что является полным квадратом разности. Таким образом, $y - 4\sqrt{y} + 4 = (\sqrt{y} - 2)^2$.

Подставив эти выражения обратно в уравнение, получим:

$(x + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{y} - 2)^2 = 0$

Это уравнение представляет собой сумму двух квадратов, которая равна нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (т.е. $\ge 0$), сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

Это приводит нас к системе из двух уравнений:

$\begin{cases} (x + \sqrt{3})^2 = 0 \\ (\sqrt{y} - 2)^2 = 0 \end{cases}$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1) $(x + \sqrt{3})^2 = 0 \implies x + \sqrt{3} = 0 \implies x = -\sqrt{3}$

2) $(\sqrt{y} - 2)^2 = 0 \implies \sqrt{y} - 2 = 0 \implies \sqrt{y} = 2$

Чтобы найти $y$, возведем обе части последнего равенства в квадрат:

$y = 2^2 = 4$

Полученное значение $y = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(-\sqrt{3}; 4)$.

Ответ: $(-\sqrt{3}; 4)$.