Номер 1084, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1084. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.

Пусть искомое наименьшее четырёхзначное число — это $x$. Согласно условию, $x$ должен быть не меньше 1000, то есть $x \ge 1000$.

Также по условию, произведение этого числа на 21 является квадратом натурального числа. Обозначим это натуральное число как $k$. Тогда можно составить уравнение:
$21 \cdot x = k^2$

Для того чтобы число было полным квадратом, все простые множители в его каноническом разложении должны входить в чётных степенях. Разложим число 21 на простые множители:
$21 = 3^1 \cdot 7^1$

Подставим это в уравнение:
$3^1 \cdot 7^1 \cdot x = k^2$

Из этого уравнения видно, что для того, чтобы степени множителей 3 и 7 в левой части стали чётными, число $x$ должно содержать в своём разложении как минимум по одному множителю 3 и 7. Все остальные множители в разложении $x$ также должны образовывать полный квадрат. Таким образом, $x$ должен иметь следующую структуру:
$x = 3 \cdot 7 \cdot m^2 = 21 \cdot m^2$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Теперь нам нужно найти наименьшее четырёхзначное число $x$. Для этого найдём наименьшее натуральное $m$, при котором $x$ будет удовлетворять условию $x \ge 1000$.
$21 \cdot m^2 \ge 1000$

Решим это неравенство относительно $m^2$:
$m^2 \ge \frac{1000}{21}$
$m^2 \ge 47{,}619...$

Поскольку $m$ — натуральное число, $m^2$ должен быть наименьшим целым числом, являющимся полным квадратом, которое больше или равно $47{,}619...$.
Рассмотрим квадраты ближайших натуральных чисел: $6^2 = 36$ (не подходит, так как меньше $47{,}619...$), $7^2 = 49$ (подходит).
Следовательно, наименьшее значение для $m^2$ равно 49, а для $m$ — 7.

Теперь вычислим искомое число $x$:
$x = 21 \cdot m^2 = 21 \cdot 49 = 1029$.

Проверка: 1029 — это наименьшее четырёхзначное число, так как мы использовали наименьшее возможное значение $m$. Убедимся, что произведение $1029 \cdot 21$ является полным квадратом: $1029 \cdot 21 = 21609 = 147^2$. Условие выполнено.

Ответ: 1029