Номер 1080, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1080. Решите в натуральных числах систему уравнений

$\begin{cases} x + y + z = 14, \\ x + yz = 19. \end{cases}$

Дана система уравнений, которую необходимо решить в натуральных числах ($x, y, z \in \mathbb{N}$):$$\begin{cases} x + y + z = 14, \\ x + yz = 19.\end{cases}$$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $x$:
$(x + yz) - (x + y + z) = 19 - 14$
$yz - y - z = 5$

Полученное уравнение является диофантовым уравнением. Мы можем преобразовать его левую часть для разложения на множители. Для этого прибавим 1 к обеим частям уравнения (метод, известный как выделение полного произведения или трюк Саймона):
$yz - y - z + 1 = 5 + 1$
Сгруппируем слагаемые:
$y(z - 1) - 1(z - 1) = 6$
$(y - 1)(z - 1) = 6$

Согласно условию, переменные $y$ и $z$ являются натуральными числами, то есть $y \ge 1$ и $z \ge 1$. Это означает, что множители $(y - 1)$ и $(z - 1)$ являются целыми неотрицательными числами. Поскольку их произведение равно 6 (положительное число), ни один из множителей не может быть равен нулю. Следовательно, $(y-1)$ и $(z-1)$ — это натуральные числа, которые в произведении дают 6.

Рассмотрим все возможные пары натуральных делителей числа 6.

1. Пусть $y - 1 = 1$ и $z - 1 = 6$.
Тогда $y = 2$ и $z = 7$.
Подставим найденные значения $y$ и $z$ в первое уравнение исходной системы ($x + y + z = 14$):
$x + 2 + 7 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.
Мы получили тройку чисел $(5, 2, 7)$. Все числа натуральные. Выполним проверку, подставив их во второе уравнение ($x + yz = 19$): $5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$. Решение является верным.

2. Пусть $y - 1 = 2$ и $z - 1 = 3$.
Тогда $y = 3$ и $z = 4$.
Подставим в первое уравнение:
$x + 3 + 4 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.
Получили тройку $(7, 3, 4)$. Проверим по второму уравнению: $7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$. Решение верное.

3. Пусть $y - 1 = 3$ и $z - 1 = 2$.
Тогда $y = 4$ и $z = 3$.
Подставим в первое уравнение:
$x + 4 + 3 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.
Получили тройку $(7, 4, 3)$. Проверим по второму уравнению: $7 + 4 \cdot 3 = 7 + 12 = 19$. Решение верное.

4. Пусть $y - 1 = 6$ и $z - 1 = 1$.
Тогда $y = 7$ и $z = 2$.
Подставим в первое уравнение:
$x + 7 + 2 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.
Получили тройку $(5, 7, 2)$. Проверим по второму уравнению: $5 + 7 \cdot 2 = 5 + 14 = 19$. Решение верное.

Мы рассмотрели все возможные пары множителей и нашли все решения системы в натуральных числах.

Ответ: $(5, 2, 7)$, $(7, 3, 4)$, $(7, 4, 3)$, $(5, 7, 2)$.