Номер 1073, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1073, страница 245.

1073. Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна -3. Найдите эти числа.

Пусть три различных целых числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3$.

Члены геометрической прогрессии можно выразить через первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$ следующим образом:$b_1$$b_2 = b_1 \cdot q$$b_3 = b_1 \cdot q^2$

По условию задачи, сумма этих чисел равна $-3$:$b_1 + b_2 + b_3 = -3$$b_1 + b_1q + b_1q^2 = -3$Вынесем $b_1$ за скобки:$b_1(1 + q + q^2) = -3$

Так как числа $b_1, b_1q, b_1q^2$ являются целыми и различными, то $b_1$ должен быть целым числом, а знаменатель $q$ — рациональным числом. Также из условия, что числа различны, следует, что $q \ne 1$ (иначе все числа равны), $q \ne -1$ (иначе $b_1 = b_3$) и $q \ne 0$ (иначе $b_2=b_3=0$).

Рассмотрим сначала случай, когда $q$ является целым числом. В этом случае выражение $(1 + q + q^2)$ также является целым числом. Из уравнения $b_1(1 + q + q^2) = -3$ следует, что $b_1$ должен быть делителем числа $-3$. Возможные целые значения для $b_1$: $1, -1, 3, -3$.

Проверим каждый из этих случаев:

1. Если $b_1 = 1$, то $1(1 + q + q^2) = -3 \implies q^2 + q + 4 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 < 0$. Действительных корней нет.

2. Если $b_1 = -1$, то $-1(1 + q + q^2) = -3 \implies 1 + q + q^2 = 3 \implies q^2 + q - 2 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $q_1 = 1$ и $q_2 = -2$. Значение $q=1$ не подходит, так как числа должны быть различны. При $q=-2$ получаем решение.

3. Если $b_1 = 3$, то $3(1 + q + q^2) = -3 \implies 1 + q + q^2 = -1 \implies q^2 + q + 2 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

4. Если $b_1 = -3$, то $-3(1 + q + q^2) = -3 \implies 1 + q + q^2 = 1 \implies q^2 + q = 0 \implies q(q+1)=0$. Корни $q=0$ и $q=-1$. Оба значения не подходят по условию различности чисел.

Таким образом, единственная возможность при целом $q$ — это $b_1 = -1$ и $q = -2$.Найдем эти три числа:$b_1 = -1$$b_2 = b_1 \cdot q = (-1) \cdot (-2) = 2$$b_3 = b_1 \cdot q^2 = (-1) \cdot (-2)^2 = -4$

Получили числа: $-1, 2, -4$. Они являются различными целыми числами. Проверим их сумму: $-1 + 2 + (-4) = 1 - 4 = -3$. Условие выполняется.

Можно также рассмотреть случай, когда $q$ — дробное рациональное число. Например, если взять найденные числа в обратном порядке: $-4, 2, -1$. Они также составляют геометрическую прогрессию, но с первым членом $b'_1 = -4$ и знаменателем $q' = 2/(-4) = -1/2$. В этом случае числа те же самые.

Ответ: -4, -1, 2.