Номер 1070, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1070. В арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, a_4$, состоящая из целых чисел. Обозначим разность прогрессии через $d$. Тогда члены прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_4 = a_1 + 3d$

Поскольку все члены прогрессии являются целыми числами, $a_1$ и $d$ также должны быть целыми числами.

Согласно условию задачи, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Наибольший член зависит от знака разности $d$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $d = 0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны между собой: $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a$.

В этом случае любой член является наибольшим. Условие задачи принимает вид:

$a = a^2 + a^2 + a^2$

$a = 3a^2$

$3a^2 - a = 0$

$a(3a - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $a = 0$ и $a = 1/3$. Поскольку члены прогрессии должны быть целыми числами, подходит только $a = 0$.

Таким образом, одна из возможных прогрессий — это $0, 0, 0, 0$.

Проверка: наибольший член равен 0. Сумма квадратов остальных членов: $0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$. Условие выполняется.

Ответ: $0, 0, 0, 0$.

Случай 2: $d > 0$

Если разность прогрессии положительна, то прогрессия является возрастающей. Наибольшим членом будет $a_4$.

Условие задачи записывается как:

$a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$

Подставим выражения для членов прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2$

$a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2)$

$a_1 + 3d = 3a_1^2 + 6a_1d + 5d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a_1$:

$3a_1^2 + (6d - 1)a_1 + (5d^2 - 3d) = 0$

Поскольку $a_1$ — целое число, дискриминант $D$ этого квадратного уравнения должен быть полным квадратом неотрицательного целого числа.

$D = (6d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (5d^2 - 3d)$

$D = (36d^2 - 12d + 1) - 12(5d^2 - 3d)$

$D = 36d^2 - 12d + 1 - 60d^2 + 36d$

$D = -24d^2 + 24d + 1$

Мы ищем целые положительные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Пусть $D=k^2$ для некоторого целого $k \ge 0$.

При $d=1$: $D = -24(1)^2 + 24(1) + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат.

При $d=2$: $D = -24(2)^2 + 24(2) + 1 = -96 + 48 + 1 = -47$. Не является полным квадратом (и даже не является неотрицательным).

Парабола $y(d) = -24d^2 + 24d + 1$ имеет ветви вниз, и ее вершина находится в точке $d = -24/(2 \cdot (-24)) = 0.5$. При $d \ge 1$ функция убывает. Так как уже при $d=2$ значение отрицательно, то для всех $d \ge 2$ оно будет отрицательным. Следовательно, единственное возможное целое положительное значение для $d$ — это $d=1$.

Подставим $d=1$ и $D=1$ в уравнение для нахождения $a_1$:

$a_1 = \frac{-(6d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(6 \cdot 1 - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-5 \pm 1}{6}$

Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{-5 - 1}{6} = -1$ (целое число) и $a_{1,2} = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{2}{3}$ (не является целым числом).

Таким образом, единственное решение в этом случае: $a_1 = -1$ и $d=1$.

Найдем члены прогрессии: $a_1 = -1$, $a_2 = -1 + 1 = 0$, $a_3 = -1 + 2 = 1$, $a_4 = -1 + 3 = 2$.

Проверка: наибольший член $a_4 = 2$. Сумма квадратов остальных: $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие $2=2$ выполняется.

Ответ: $-1, 0, 1, 2$.

Случай 3: $d < 0$

Если разность прогрессии отрицательна, то прогрессия является убывающей. Наибольшим членом будет $a_1$.

Условие задачи записывается как:

$a_1 = a_2^2 + a_3^2 + a_4^2$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$a_1 = (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 + (a_1 + 3d)^2$

$a_1 = (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2) + (a_1^2 + 6a_1d + 9d^2)$

$a_1 = 3a_1^2 + 12a_1d + 14d^2$

Получаем квадратное уравнение относительно $a_1$:

$3a_1^2 + (12d - 1)a_1 + 14d^2 = 0$

Его дискриминант $D$ должен быть полным квадратом:

$D = (12d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (14d^2) = 144d^2 - 24d + 1 - 168d^2 = -24d^2 - 24d + 1$

Так как $d$ — целое отрицательное число, пусть $d = -c$, где $c$ — целое положительное число ($c > 0$).

$D = -24(-c)^2 - 24(-c) + 1 = -24c^2 + 24c + 1$

Это то же самое выражение для дискриминанта, что и в случае 2. Как мы уже установили, оно является полным квадратом только при $c=1$, что дает $D=1$.

Значит, единственное возможное значение $d$ — это $d=-1$.

Подставим $d=-1$ и $D=1$ в формулу для нахождения $a_1$:

$a_1 = \frac{-(12d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(12(-1) - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-(-13) \pm 1}{6} = \frac{13 \pm 1}{6}$

Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{7}{3}$ (не является целым числом) и $a_{1,2} = \frac{13 - 1}{6} = 2$ (целое число).

Таким образом, единственное решение в этом случае: $a_1 = 2$ и $d=-1$.

Найдем члены прогрессии: $a_1 = 2$, $a_2 = 2 - 1 = 1$, $a_3 = 2 - 2 = 0$, $a_4 = 2 - 3 = -1$.

Проверка: наибольший член $a_1 = 2$. Сумма квадратов остальных: $a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие $2=2$ выполняется.

Ответ: $2, 1, 0, -1$.