Номер 1064, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1064. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Обозначим искомое двузначное число как $N$. Пусть $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Тогда число $N$ можно записать в виде $N = 10a + b$.

По условию, $a$ — целое число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Рассмотрим оба условия задачи и запишем их в виде математических уравнений.

Условие 1: число при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6.

Сумма квадратов цифр числа равна $a^2 + b^2$. Согласно определению деления с остатком, мы можем записать: $N = 2 \cdot (a^2 + b^2) + 6$ $10a + b = 2(a^2 + b^2) + 6$

Важным свойством деления с остатком является то, что остаток всегда меньше делителя. Следовательно: $6 < a^2 + b^2$

Условие 2: число при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6.

Произведение цифр числа равно $a \cdot b$. Это условие можно записать так: $N = 4 \cdot (ab) + 6$ $10a + b = 4ab + 6$

Так же, как и в первом условии, остаток должен быть меньше делителя: $6 < ab$

Из этого неравенства следует, что ни одна из цифр не может быть нулем, так как иначе произведение было бы равно нулю, а остаток 6 не может быть меньше нуля. Значит, $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{1, ..., 9\}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, так как левые части обоих уравнений равны $N$: $10a + b = 2(a^2 + b^2) + 6$ $10a + b = 4ab + 6$

Приравняем правые части этих уравнений: $2(a^2 + b^2) + 6 = 4ab + 6$

Вычтем 6 из обеих частей и разделим на 2: $2(a^2 + b^2) = 4ab$ $a^2 + b^2 = 2ab$

Перенесем все члены в одну сторону: $a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Это выражение является формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = 0$

Из этого следует, что $a - b = 0$, то есть $a = b$. Это означает, что цифры искомого числа должны быть одинаковыми.

Подставим $b = a$ в одно из исходных уравнений, например во второе: $10a + a = 4a \cdot a + 6$ $11a = 4a^2 + 6$

Мы получили квадратное уравнение относительно $a$: $4a^2 - 11a + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$

Найдем корни уравнения: $a_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm 5}{8}$

$a_1 = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$a_2 = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Поскольку $a$ — это цифра, она должна быть целым числом. Следовательно, единственный возможный вариант — это $a = 2$. Так как $a = b$, то и $b = 2$.

Таким образом, единственным числом-кандидатом является $N = 22$.

Проверим, удовлетворяет ли число 22 обоим условиям задачи, включая неравенства для остатков.

Проверка условия 1: деление 22 на сумму квадратов цифр ($2^2 + 2^2 = 8$). $22 \div 8 = 2$ с остатком $6$. Здесь частное равно 2, остаток равен 6. Проверяем неравенство: $6 < 8$. Условие выполнено.

Проверка условия 2: деление 22 на произведение цифр ($2 \cdot 2 = 4$). Условие гласит, что частное должно быть 4, а остаток 6. Однако, по определению, остаток от деления на 4 должен быть строго меньше 4. Остаток 6 не может быть получен при делении на 4. Это приводит к противоречию.

Поскольку единственное возможное число, вытекающее из уравнений, не удовлетворяет основному правилу деления с остатком во втором условии, можно сделать вывод, что такого двузначного числа не существует.

Ответ: Такого двузначного числа не существует.