Номер 1058, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1058. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4.25, \\ x + y = 130. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4,25 \\ x + y = 130 \end{cases} $

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку переменные $x$ и $y$ находятся в знаменателях дробей под знаком корня, они не могут быть равны нулю: $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Заметим, что выражения $\sqrt[3]{\frac{x}{y}}$ и $\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$ являются взаимно обратными. Это позволяет сделать замену переменной для упрощения уравнения.

Пусть $t = \sqrt[3]{\frac{x}{y}}$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$.

Представим десятичную дробь 4,25 в виде обыкновенной дроби: $4,25 = 4\frac{25}{100} = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Теперь подставим замену в первое уравнение системы:

$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $4t$ (мы знаем, что $t \ne 0$, так как $x \ne 0$):

$4t \cdot t + 4t \cdot \frac{1}{t} = 4t \cdot \frac{17}{4}$

$4t^2 + 4 = 17t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$. Рассмотрим два случая, соответствующие найденным значениям $t$.

Случай 1: $t = 4$

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 4$

Возведем обе части в третью степень:

$\frac{x}{y} = 4^3 = 64$

Отсюда получаем соотношение $x = 64y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$64y + y = 130$

$65y = 130$

$y = \frac{130}{65} = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 64y = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, первая пара решений — $(128; 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{4}$

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части в третью степень:

$\frac{x}{y} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$

Отсюда получаем соотношение $y = 64x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$x + 64x = 130$

$65x = 130$

$x = \frac{130}{65} = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 64x = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, вторая пара решений — $(2; 128)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Мы получили две пары чисел, которые являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: $(128; 2), (2; 128)$.