Номер 1053, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1053. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x^3 - y^3 = 19(x - y), \\ x^3 + y^3 = 7(x + y). \end{cases}$$

Данная система уравнений:$\begin{cases}x^3 - y^3 = 19(x - y) \\x^3 + y^3 = 7(x + y)\end{cases}$

Для решения воспользуемся формулами разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.Применим эти формулы к левым частям уравнений:

$\begin{cases}(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x - y) \\(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 7(x + y)\end{cases}$

Перенесем все члены в левую часть уравнений и вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases}(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 19) = 0 \\(x + y)(x^2 - xy + y^2 - 7) = 0\end{cases}$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, исходная система эквивалентна совокупности четырех систем уравнений. Рассмотрим каждый случай.

1. Первая система получается приравниванием к нулю первых множителей в каждом уравнении:

$\begin{cases}x - y = 0 \\x + y = 0\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x = y$. Подставив это во второе уравнение, получаем $y + y = 0$, или $2y = 0$, откуда $y = 0$. Следовательно, $x = 0$. Первое решение: $(0, 0)$.

2. Вторая система:

$\begin{cases}x - y = 0 \\x^2 - xy + y^2 - 7 = 0\end{cases}$

Из первого уравнения $x = y$. Подставляем во второе: $y^2 - y \cdot y + y^2 = 7$, что упрощается до $y^2 = 7$. Отсюда $y = \pm\sqrt{7}$. Так как $x = y$, получаем два решения: $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$ и $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

3. Третья система:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 - 19 = 0 \\x + y = 0\end{cases}$

Из второго уравнения $x = -y$. Подставляем в первое: $(-y)^2 + (-y)y + y^2 = 19$, что упрощается до $y^2 - y^2 + y^2 = 19$, или $y^2 = 19$. Отсюда $y = \pm\sqrt{19}$.Если $y = \sqrt{19}$, то $x = -\sqrt{19}$. Если $y = -\sqrt{19}$, то $x = \sqrt{19}$.Получаем еще два решения: $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$ и $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$.

4. Четвертая система:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 19 \\x^2 - xy + y^2 = 7\end{cases}$

Это система, которую можно решить сложением и вычитанием уравнений.Сложив уравнения, получим: $(x^2 + xy + y^2) + (x^2 - xy + y^2) = 19 + 7 \implies 2x^2 + 2y^2 = 26 \implies x^2 + y^2 = 13$.Вычтя второе уравнение из первого, получим: $(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 19 - 7 \implies 2xy = 12 \implies xy = 6$.

Теперь решаем новую, более простую систему:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = 6\end{cases}$

Из второго уравнения выражаем $y = 6/x$ (подразумевая $x \neq 0$) и подставляем в первое:$x^2 + (6/x)^2 = 13 \implies x^2 + 36/x^2 = 13$.Умножим обе части на $x^2$:$x^4 + 36 = 13x^2 \implies x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.$t^2 - 13t + 36 = 0$.По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Возвращаемся к переменной $x$:а) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.Если $x = 2$, то $y = 6/2 = 3$. Решение $(2, 3)$.Если $x = -2$, то $y = 6/(-2) = -3$. Решение $(-2, -3)$.

б) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.Если $x = 3$, то $y = 6/3 = 2$. Решение $(3, 2)$.Если $x = -3$, то $y = 6/(-3) = -2$. Решение $(-3, -2)$.

Собрав все решения из четырех случаев, получаем 9 пар решений.

Ответ: $(0, 0)$, $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$, $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$, $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$, $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$, $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$, $(-3, -2)$.