Номер 1048, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1048. Найдите значения $a$, при которых один из корней уравнения $x^2 - 3.75x + a^3 = 0$ является квадратом другого.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3,75x + a^3 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.
По условию, один из корней является квадратом другого, то есть $x_2 = x_1^2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Представим коэффициент $3,75$ в виде обыкновенной дроби для удобства вычислений: $3,75 = \frac{15}{4}$. Уравнение примет вид: $x^2 - \frac{15}{4}x + a^3 = 0$.
Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-\frac{15}{4}) = \frac{15}{4}$.
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a^3$.

Теперь подставим в эти соотношения условие $x_2 = x_1^2$.
Из первого соотношения получаем уравнение для $x_1$:
$x_1 + x_1^2 = \frac{15}{4}$

Из второго соотношения получаем связь между параметром $a$ и корнем $x_1$:
$x_1 \cdot x_1^2 = a^3 \implies x_1^3 = a^3 \implies a = x_1$

Таким образом, задача сводится к нахождению значений $x_1$ из полученного квадратного уравнения, так как они будут равны искомым значениям $a$.
Решим уравнение $x_1^2 + x_1 - \frac{15}{4} = 0$.
Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4x_1^2 + 4x_1 - 15 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$.
Корни уравнения для $x_1$:
$x_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 16}{8}$.

Получаем два возможных значения для $x_1$:
$x_{1}' = \frac{-4 + 16}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$
$x_{1}'' = \frac{-4 - 16}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2,5$

Поскольку мы установили, что $a = x_1$, то искомые значения $a$ равны найденным значениям $x_1$.

Ответ: $a=1,5; a=-2,5$.