Страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1046. Найдите область значений функции $y = \frac{x}{x^2+1}$.

Для того чтобы найти область значений функции $y = \frac{x}{x^2 + 1}$, необходимо определить множество всех значений, которые может принимать $y$. Пусть $y_0$ — одно из таких значений. Это означает, что существует по крайней мере одно действительное число $x$, для которого выполняется равенство:

$y_0 = \frac{x}{x^2 + 1}$

Чтобы найти, при каких значениях $y_0$ это уравнение имеет решение, преобразуем его. Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$), мы можем умножить обе части уравнения на $x^2+1$:

$y_0(x^2 + 1) = x$
$y_0x^2 + y_0 = x$
$y_0x^2 - x + y_0 = 0$

Мы получили уравнение, которое можно рассматривать как квадратное относительно переменной $x$. Чтобы это уравнение имело хотя бы одно действительное решение для $x$, нужно рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $y_0 = 0$.
Если $y_0 = 0$, уравнение принимает вид:$0 \cdot x^2 - x + 0 = 0$$-x = 0$$x = 0$
Уравнение имеет действительный корень. Это означает, что $y_0 = 0$ входит в область значений функции.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $y_0 \neq 0$.
В этом случае уравнение $y_0x^2 - x + y_0 = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1)^2 - 4 \cdot y_0 \cdot y_0 = 1 - 4y_0^2$
Теперь решим неравенство $D \ge 0$:$1 - 4y_0^2 \ge 0$$4y_0^2 \le 1$$y_0^2 \le \frac{1}{4}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:$|y_0| \le \sqrt{\frac{1}{4}}$$|y_0| \le \frac{1}{2}$
Это неравенство эквивалентно:$-\frac{1}{2} \le y_0 \le \frac{1}{2}$

Объединяя результаты обоих случаев (значение $y_0 = 0$ из первого случая входит в промежуток $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$), мы заключаем, что уравнение имеет действительные решения для $x$ при всех $y_0$, принадлежащих отрезку $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Следовательно, область значений функции есть отрезок от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{2}$ включительно.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

1047. Сумма квадратов корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ равна 1,75. Найдите $x_1$ и $x_2$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 1,75, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 1.75$.

Для решения воспользуемся теоремой Виета. Для нашего уравнения $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3a) = 3a$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a^2$.

Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней, используя известное тождество:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим выражения из теоремы Виета в это тождество:

$x_1^2 + x_2^2 = (3a)^2 - 2(a^2) = 9a^2 - 2a^2 = 7a^2$

Согласно условию задачи, это выражение равно 1,75. Составим и решим уравнение относительно $a$:

$7a^2 = 1.75$

Переведем 1,75 в обыкновенную дробь: $1.75 = 1 \frac{75}{100} = 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

$7a^2 = \frac{7}{4}$

Разделив обе части на 7, получим:

$a^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда находим два возможных значения для $a$:

$a_1 = \frac{1}{2}$ и $a_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь необходимо найти корни $x_1$ и $x_2$ для каждого из найденных значений параметра $a$.

Случай 1: $a = \frac{1}{2}$

Подставляем это значение $a$ в исходное уравнение:

$x^2 - 3(\frac{1}{2})x + (\frac{1}{2})^2 = 0$

$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4x^2 - 6x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 36 - 16 = 20$

Корни уравнения:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

Таким образом, первая пара корней: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$.

Случай 2: $a = -\frac{1}{2}$

Подставляем это значение $a$ в исходное уравнение:

$x^2 - 3(-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{2})^2 = 0$

$x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$

Умножим уравнение на 4:

$4x^2 + 6x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 36 - 16 = 20$

Корни уравнения:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}$

Таким образом, вторая пара корней: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$.

Итак, существуют два набора корней, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Корни уравнения: $x_1=\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2=\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ или $x_1=\frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$, $x_2=\frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$.

1048. Найдите значения $a$, при которых один из корней уравнения $x^2 - 3.75x + a^3 = 0$ является квадратом другого.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3,75x + a^3 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.
По условию, один из корней является квадратом другого, то есть $x_2 = x_1^2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Представим коэффициент $3,75$ в виде обыкновенной дроби для удобства вычислений: $3,75 = \frac{15}{4}$. Уравнение примет вид: $x^2 - \frac{15}{4}x + a^3 = 0$.
Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-\frac{15}{4}) = \frac{15}{4}$.
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a^3$.

Теперь подставим в эти соотношения условие $x_2 = x_1^2$.
Из первого соотношения получаем уравнение для $x_1$:
$x_1 + x_1^2 = \frac{15}{4}$

Из второго соотношения получаем связь между параметром $a$ и корнем $x_1$:
$x_1 \cdot x_1^2 = a^3 \implies x_1^3 = a^3 \implies a = x_1$

Таким образом, задача сводится к нахождению значений $x_1$ из полученного квадратного уравнения, так как они будут равны искомым значениям $a$.
Решим уравнение $x_1^2 + x_1 - \frac{15}{4} = 0$.
Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4x_1^2 + 4x_1 - 15 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$.
Корни уравнения для $x_1$:
$x_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 16}{8}$.

Получаем два возможных значения для $x_1$:
$x_{1}' = \frac{-4 + 16}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$
$x_{1}'' = \frac{-4 - 16}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2,5$

Поскольку мы установили, что $a = x_1$, то искомые значения $a$ равны найденным значениям $x_1$.

Ответ: $a=1,5; a=-2,5$.

1049. При каком значении $m$ корни уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ принадлежат интервалу $(-2; 4)$?

Для того чтобы найти значения параметра $m$, при которых корни уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ принадлежат интервалу $(-2; 4)$, сначала найдем сами корни этого уравнения.

Заметим, что левую часть уравнения можно преобразовать, выделив полный квадрат:
$(x^2 - 2mx + m^2) - 1 = 0$
$(x - m)^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:
$(x - m)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$x - m = \pm 1$

Отсюда находим два корня уравнения:
$x_1 = m - 1$
$x_2 = m + 1$

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать интервалу $(-2; 4)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два неравенства:
$-2 < x_1 < 4$ и $-2 < x_2 < 4$.

Запишем это в виде системы двойных неравенств:
$ \begin{cases} -2 < m - 1 < 4 \\ -2 < m + 1 < 4 \end{cases} $

Решим первое неравенство. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 < m < 4 + 1$
$-1 < m < 5$
Решение этого неравенства: $m \in (-1; 5)$.

Решим второе неравенство. Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-2 - 1 < m < 4 - 1$
$-3 < m < 3$
Решение этого неравенства: $m \in (-3; 3)$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение полученных интервалов: $(-1; 5) \cap (-3; 3)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1; 3)$.

Ответ: $m \in (-1; 3)$.

$x^4 + ax^2 + a - 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным: $x^4 + ax^2 + a - 1 = 0$.Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:$t^2 + at + (a - 1) = 0$

Теперь проанализируем, как количество корней исходного биквадратного уравнения зависит от корней этого квадратного уравнения.

• Если квадратное уравнение имеет корень $t > 0$, то уравнение $x^2 = t$ дает два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{t}$ и $x_2 = -\sqrt{t}$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t = 0$, то уравнение $x^2 = 0$ дает один действительный корень: $x = 0$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t < 0$, то уравнение $x^2 = t$ не имеет действительных корней.

По условию задачи, исходное уравнение должно иметь ровно два различных действительных корня. Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение для $t$ имеет два различных корня, один из которых положителен, а другой отрицателен.
Пусть $t_1 > 0$ и $t_2 < 0$. Тогда из $x^2 = t_1$ мы получаем два различных корня для $x$, а из $x^2 = t_2$ — ни одного.Согласно теореме Виета, для того чтобы корни квадратного уравнения $t^2 + pt + q = 0$ имели разные знаки, необходимо и достаточно, чтобы их произведение $q$ было отрицательным ($t_1 t_2 < 0$).В нашем случае $q = a - 1$. Следовательно, должно выполняться неравенство:$a - 1 < 0$$a < 1$При этом дискриминант $D$ должен быть положителен, чтобы было два различных корня. Найдем дискриминант:$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$Если $a < 1$, то $a \ne 2$, и, следовательно, $D = (a - 2)^2 > 0$. Это означает, что при $a < 1$ квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Так как их произведение $(a-1)$ отрицательно, один корень положителен, а другой отрицателен. Этот случай полностью удовлетворяет условию задачи.

2. Квадратное уравнение для $t$ имеет один единственный корень (кратный корень), и этот корень положителен.
Единственный корень существует, когда дискриминант равен нулю.$D = (a - 2)^2 = 0$$a = 2$Найдем этот корень при $a=2$. Уравнение для $t$ принимает вид:$t^2 + 2t + (2 - 1) = 0$$t^2 + 2t + 1 = 0$$(t + 1)^2 = 0$$t = -1$Этот корень является отрицательным, а не положительным. Следовательно, уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Значит, при $a=2$ исходное уравнение не имеет корней вообще. Этот случай не подходит.

Рассмотрим также пограничный случай $a=1$.При $a=1$ уравнение для $t$ имеет вид $t^2 + t = 0$, или $t(t+1)=0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.Из $x^2 = 0$ получаем один корень $x=0$.Из $x^2 = -1$ действительных корней нет.Таким образом, при $a=1$ исходное уравнение имеет только один корень, а не два.

Объединяя результаты анализа, приходим к выводу, что биквадратное уравнение имеет ровно два различных корня только в первом рассмотренном случае.

Ответ: $a < 1$

1051. Решите систему уравнений

$\begin{cases} (x+y)(8-x) = 10, \\ (x+y)(y+5) = 20. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x + y)(8 - x) = 10, \\ (x + y)(y + 5) = 20. \end{cases} $

Заметим, что если $x+y=0$, то левая часть первого уравнения обращается в ноль, и мы получаем $0=10$, что неверно. Следовательно, $x+y \neq 0$.

Введем замену переменной: пусть $a = x + y$. Система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} a(8 - x) = 10, \\ a(y + 5) = 20. \end{cases} $

Поскольку $a \neq 0$, мы можем выразить $x$ и $y$ через $a$ из каждого уравнения:

$8 - x = \frac{10}{a} \implies x = 8 - \frac{10}{a}$

$y + 5 = \frac{20}{a} \implies y = \frac{20}{a} - 5$

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $y$ обратно в уравнение замены $a = x + y$:

$a = \left(8 - \frac{10}{a}\right) + \left(\frac{20}{a} - 5\right)$

Упростим это уравнение:

$a = 3 + \frac{10}{a}$

Домножим обе части уравнения на $a$ (что возможно, так как $a \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$a^2 = 3a + 10$

Получаем квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 - 3a - 10 = 0$

Решим это уравнение. Можно по теореме Виета найти корни: их сумма равна 3, а произведение равно -10. Это числа 5 и -2. Либо решим через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$a_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$a_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Теперь для каждого найденного значения $a$ найдем соответствующие значения $x$ и $y$.

1. При $a = 5$:

$x = 8 - \frac{10}{5} = 8 - 2 = 6$

$y = \frac{20}{5} - 5 = 4 - 5 = -1$

Таким образом, первая пара решений $(6, -1)$.

2. При $a = -2$:

$x = 8 - \frac{10}{-2} = 8 + 5 = 13$

$y = \frac{20}{-2} - 5 = -10 - 5 = -15$

Таким образом, вторая пара решений $(13, -15)$.

Ответ: $(6, -1)$, $(13, -15)$.

1052. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 447, \\ xy(x - y) = 210; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy(x + y) = 30, \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 447 \\ xy(x - y) = 210 \end{cases} $

Заметим, что если $x - y = 0$, то второе уравнение примет вид $0 = 210$, что является ложным. Следовательно, $x - y \neq 0$.

Введем новые переменные: пусть $u = x - y$ и $v = xy$.

Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$. Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, откуда $u^2 = x^2 + y^2 - 2v$. Таким образом, $x^2 + y^2 = u^2 + 2v$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

$ \begin{cases} (u^2 + 2v)u = 447 \\ vu = 210 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = \frac{210}{u}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(u^2 + 2 \cdot \frac{210}{u})u = 447$

$u^3 + 420 = 447$

$u^3 = 447 - 420$

$u^3 = 27$

$u = 3$

Теперь найдем значение $v$:

$v = \frac{210}{u} = \frac{210}{3} = 70$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы получили систему:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 70 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3$. Подставим во второе уравнение:

$(y + 3)y = 70$

$y^2 + 3y - 70 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-3 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$y_2 = \frac{-3 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$

Найдем соответствующие значения $x$:

1. Если $y_1 = 7$, то $x_1 = y_1 + 3 = 7 + 3 = 10$.

2. Если $y_2 = -10$, то $x_2 = y_2 + 3 = -10 + 3 = -7$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(10; 7)$, $(-7; -10)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy(x + y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Эта система является симметрической. Введем замену переменных на основе симметрических многочленов: пусть $s = x + y$ и $p = xy$.

Первое уравнение системы принимает вид: $ps = 30$.

Преобразуем второе уравнение. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$.

В новых переменных второе уравнение выглядит так: $s^3 - 3ps = 35$.

Получаем систему уравнений для $s$ и $p$:

$ \begin{cases} ps = 30 \\ s^3 - 3ps = 35 \end{cases} $

Подставим значение $ps$ из первого уравнения во второе:

$s^3 - 3(30) = 35$

$s^3 - 90 = 35$

$s^3 = 125$

$s = 5$

Теперь найдем $p$ из первого уравнения:

$p \cdot 5 = 30$

$p = 6$

Вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$.

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно разложить на множители: $(t - 2)(t - 3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Следовательно, пары решений $(x, y)$ это $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

1053. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x^3 - y^3 = 19(x - y), \\ x^3 + y^3 = 7(x + y). \end{cases}$$

Данная система уравнений:$\begin{cases}x^3 - y^3 = 19(x - y) \\x^3 + y^3 = 7(x + y)\end{cases}$

Для решения воспользуемся формулами разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.Применим эти формулы к левым частям уравнений:

$\begin{cases}(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x - y) \\(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 7(x + y)\end{cases}$

Перенесем все члены в левую часть уравнений и вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases}(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 19) = 0 \\(x + y)(x^2 - xy + y^2 - 7) = 0\end{cases}$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, исходная система эквивалентна совокупности четырех систем уравнений. Рассмотрим каждый случай.

1. Первая система получается приравниванием к нулю первых множителей в каждом уравнении:

$\begin{cases}x - y = 0 \\x + y = 0\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x = y$. Подставив это во второе уравнение, получаем $y + y = 0$, или $2y = 0$, откуда $y = 0$. Следовательно, $x = 0$. Первое решение: $(0, 0)$.

2. Вторая система:

$\begin{cases}x - y = 0 \\x^2 - xy + y^2 - 7 = 0\end{cases}$

Из первого уравнения $x = y$. Подставляем во второе: $y^2 - y \cdot y + y^2 = 7$, что упрощается до $y^2 = 7$. Отсюда $y = \pm\sqrt{7}$. Так как $x = y$, получаем два решения: $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$ и $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

3. Третья система:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 - 19 = 0 \\x + y = 0\end{cases}$

Из второго уравнения $x = -y$. Подставляем в первое: $(-y)^2 + (-y)y + y^2 = 19$, что упрощается до $y^2 - y^2 + y^2 = 19$, или $y^2 = 19$. Отсюда $y = \pm\sqrt{19}$.Если $y = \sqrt{19}$, то $x = -\sqrt{19}$. Если $y = -\sqrt{19}$, то $x = \sqrt{19}$.Получаем еще два решения: $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$ и $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$.

4. Четвертая система:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 19 \\x^2 - xy + y^2 = 7\end{cases}$

Это система, которую можно решить сложением и вычитанием уравнений.Сложив уравнения, получим: $(x^2 + xy + y^2) + (x^2 - xy + y^2) = 19 + 7 \implies 2x^2 + 2y^2 = 26 \implies x^2 + y^2 = 13$.Вычтя второе уравнение из первого, получим: $(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 19 - 7 \implies 2xy = 12 \implies xy = 6$.

Теперь решаем новую, более простую систему:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = 6\end{cases}$

Из второго уравнения выражаем $y = 6/x$ (подразумевая $x \neq 0$) и подставляем в первое:$x^2 + (6/x)^2 = 13 \implies x^2 + 36/x^2 = 13$.Умножим обе части на $x^2$:$x^4 + 36 = 13x^2 \implies x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.$t^2 - 13t + 36 = 0$.По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Возвращаемся к переменной $x$:а) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.Если $x = 2$, то $y = 6/2 = 3$. Решение $(2, 3)$.Если $x = -2$, то $y = 6/(-2) = -3$. Решение $(-2, -3)$.

б) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.Если $x = 3$, то $y = 6/3 = 2$. Решение $(3, 2)$.Если $x = -3$, то $y = 6/(-3) = -2$. Решение $(-3, -2)$.

Собрав все решения из четырех случаев, получаем 9 пар решений.

Ответ: $(0, 0)$, $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$, $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$, $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$, $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$, $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

1054. Найдите все решения системы

$$\begin{cases} x^3 + x^3 y^3 + y^3 = 12, \\ x + xy + y = 0. \end{cases}$$

Данная система является симметрической. Для ее решения введем новые переменные, представляющие собой элементарные симметрические многочлены:

Пусть $s = x+y$ и $p = xy$.

Перепишем систему уравнений в новых переменных.

Второе уравнение системы $x + xy + y = 0$ можно переписать как $(x+y) + xy = 0$, что в новых переменных дает:

$s + p = 0$, откуда $p = -s$.

Теперь преобразуем первое уравнение системы $x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12$.

Выразим $x^3 + y^3$ через $s$ и $p$:

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = s(s^2 - 3p)$.

Слагаемое $x^3y^3$ равно $(xy)^3 = p^3$.

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$s(s^2 - 3p) + p^3 = 12$.

Получили систему уравнений для $s$ и $p$:

$ \begin{cases} s(s^2-3p) + p^3 = 12, \\ s+p=0. \end{cases} $

Подставим $p = -s$ из второго уравнения в первое:

$s(s^2 - 3(-s)) + (-s)^3 = 12$

$s(s^2 + 3s) - s^3 = 12$

$s^3 + 3s^2 - s^3 = 12$

$3s^2 = 12$

$s^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $s$: $s=2$ и $s=-2$. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $s = 2$.

Если $s=2$, то $p = -s = -2$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$ \begin{cases} x+y = 2, \\ xy = -2. \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$:

$t^2 - 2t - 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, мы получаем две пары решений: $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$ и $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

Случай 2: $s = -2$.

Если $s=-2$, то $p = -s = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$ \begin{cases} x+y = -2, \\ xy = 2. \end{cases} $

Составляем квадратное уравнение $t^2 - st + p = 0$:

$t^2 - (-2)t + 2 = 0$

$t^2 + 2t + 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Однако, оно имеет комплексные корни:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$.

Таким образом, мы получаем еще две пары комплексных решений: $(-1+i, -1-i)$ и $(-1-i, -1+i)$.

Соберем все найденные решения.

Ответ: $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$, $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$, $(-1+i, -1-i)$, $(-1-i, -1+i)$.

1055. Решите уравнение $(x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 4$.

Данное уравнение $(x+3)^4 + (x+5)^4 = 4$ является симметричным относительно точки $x = -4$, так как выражения $(x+3)$ и $(x+5)$ можно представить как $(x+4)-1$ и $(x+4)+1$. Для упрощения решения введем замену переменной.

Пусть $y = x + 4$. Тогда $x+3 = y-1$ и $x+5 = y+1$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(y-1)^4 + (y+1)^4 = 4$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой бинома Ньютона. Напомним, что $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$.

$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$

$(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

Теперь сложим левую часть уравнения:

$(y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) = 4$

Члены с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 4$

Перенесем 4 в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2y^4 + 12y^2 - 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

$y^4 + 6y^2 - 1 = 0$

Получилось биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$. Поскольку $y$ - действительное число, $y^2$ не может быть отрицательным, следовательно $z \ge 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $z$:

$z^2 + 6z - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта или формулы корней:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$

Мы получили два возможных значения для $z$:

$z_1 = -3 + \sqrt{10}$

$z_2 = -3 - \sqrt{10}$

Теперь нужно проверить условие $z \ge 0$.

Значение $\sqrt{10}$ находится между $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{16}=4$. Следовательно, $\sqrt{10} > 3$.

Тогда $z_1 = -3 + \sqrt{10} > 0$. Этот корень удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Значение $z_2 = -3 - \sqrt{10}$ очевидно отрицательно, так как является суммой двух отрицательных чисел. Этот корень не подходит.

Итак, у нас есть единственное подходящее значение для $z$:

$z = y^2 = -3 + \sqrt{10}$

Отсюда находим значения для $y$:

$y = \pm \sqrt{-3 + \sqrt{10}}$

Наконец, вернемся к исходной переменной $x$. Мы использовали замену $y = x+4$, из которой следует, что $x = y-4$.

Подставляем найденные значения $y$:

$x_1 = -4 + \sqrt{-3 + \sqrt{10}}$

$x_2 = -4 - \sqrt{-3 + \sqrt{10}}$

Эти два решения можно записать в компактной форме.

Ответ: $-4 \pm \sqrt{\sqrt{10}-3}$.

1056. Решите уравнение $(x^2 + x)^4 - 1 = 0.$

Дано уравнение $(x^2 + x)^4 - 1 = 0$.

Для решения перенесем 1 в правую часть уравнения:
$(x^2 + x)^4 = 1$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Поскольку степень корня (4) четная, основание степени может быть равно как 1, так и -1, так как $1^4 = 1$ и $(-1)^4 = 1$. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:
1) $x^2 + x = 1$
2) $x^2 + x = -1$
Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения: $x^2 + x = 1$.
Приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + x - 1 = 0$.
Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Решение второго уравнения: $x^2 + x = -1$.
Приведем его к стандартному виду:
$x^2 + x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант этого уравнения:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только два действительных корня, которые были найдены при решении первого уравнения.
Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

1057. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8. \end{cases} $$

Возведем первое уравнение системы в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$$ (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})^3 = 3^3 $$

$$ (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 + 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) = 27 $$

$$ x + y + 3\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}) = 27 $$

Теперь подставим в это уравнение значения из исходной системы. Из второго уравнения системы мы знаем, что $xy = 8$. Следовательно, $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{8} = 2$. Из первого уравнения системы мы знаем, что $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3$.

Подставляем эти значения:

$$ x + y + 3 \cdot 2 \cdot 3 = 27 $$

$$ x + y + 18 = 27 $$

$$ x + y = 27 - 18 $$

$$ x + y = 9 $$

Теперь мы получили новую, более простую систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 9, \\ xy = 8. \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из нашей новой системы:

$$ t^2 - 9t + 8 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Можно найти корни по теореме Виета (сумма корней равна 9, произведение равно 8, значит корни 1 и 8) или через дискриминант.

Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 $$

Найдем корни:

$$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

$$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$

Корни уравнения $t=1$ и $t=8$. Это означает, что переменные $x$ и $y$ принимают эти значения. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1. $x = 1, y = 8$

2. $x = 8, y = 1$

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему.

Для пары $(1, 8)$:

$$ \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3 $$ (верно)

$$ 1 \cdot 8 = 8 $$ (верно)

Для пары $(8, 1)$:

$$ \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} = 2 + 1 = 3 $$ (верно)

$$ 8 \cdot 1 = 8 $$ (верно)

Оба решения подходят.

Ответ: $(1; 8), (8; 1)$.

1058. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4.25, \\ x + y = 130. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4,25 \\ x + y = 130 \end{cases} $

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку переменные $x$ и $y$ находятся в знаменателях дробей под знаком корня, они не могут быть равны нулю: $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Заметим, что выражения $\sqrt[3]{\frac{x}{y}}$ и $\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$ являются взаимно обратными. Это позволяет сделать замену переменной для упрощения уравнения.

Пусть $t = \sqrt[3]{\frac{x}{y}}$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$.

Представим десятичную дробь 4,25 в виде обыкновенной дроби: $4,25 = 4\frac{25}{100} = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Теперь подставим замену в первое уравнение системы:

$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $4t$ (мы знаем, что $t \ne 0$, так как $x \ne 0$):

$4t \cdot t + 4t \cdot \frac{1}{t} = 4t \cdot \frac{17}{4}$

$4t^2 + 4 = 17t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$. Рассмотрим два случая, соответствующие найденным значениям $t$.

Случай 1: $t = 4$

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 4$

Возведем обе части в третью степень:

$\frac{x}{y} = 4^3 = 64$

Отсюда получаем соотношение $x = 64y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$64y + y = 130$

$65y = 130$

$y = \frac{130}{65} = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 64y = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, первая пара решений — $(128; 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{4}$

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части в третью степень:

$\frac{x}{y} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$

Отсюда получаем соотношение $y = 64x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$x + 64x = 130$

$65x = 130$

$x = \frac{130}{65} = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 64x = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, вторая пара решений — $(2; 128)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Мы получили две пары чисел, которые являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: $(128; 2), (2; 128)$.