Номер 1046, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1046. Найдите область значений функции $y = \frac{x}{x^2+1}$.

Для того чтобы найти область значений функции $y = \frac{x}{x^2 + 1}$, необходимо определить множество всех значений, которые может принимать $y$. Пусть $y_0$ — одно из таких значений. Это означает, что существует по крайней мере одно действительное число $x$, для которого выполняется равенство:

$y_0 = \frac{x}{x^2 + 1}$

Чтобы найти, при каких значениях $y_0$ это уравнение имеет решение, преобразуем его. Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$), мы можем умножить обе части уравнения на $x^2+1$:

$y_0(x^2 + 1) = x$
$y_0x^2 + y_0 = x$
$y_0x^2 - x + y_0 = 0$

Мы получили уравнение, которое можно рассматривать как квадратное относительно переменной $x$. Чтобы это уравнение имело хотя бы одно действительное решение для $x$, нужно рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $y_0 = 0$.
Если $y_0 = 0$, уравнение принимает вид:$0 \cdot x^2 - x + 0 = 0$$-x = 0$$x = 0$
Уравнение имеет действительный корень. Это означает, что $y_0 = 0$ входит в область значений функции.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $y_0 \neq 0$.
В этом случае уравнение $y_0x^2 - x + y_0 = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1)^2 - 4 \cdot y_0 \cdot y_0 = 1 - 4y_0^2$
Теперь решим неравенство $D \ge 0$:$1 - 4y_0^2 \ge 0$$4y_0^2 \le 1$$y_0^2 \le \frac{1}{4}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:$|y_0| \le \sqrt{\frac{1}{4}}$$|y_0| \le \frac{1}{2}$
Это неравенство эквивалентно:$-\frac{1}{2} \le y_0 \le \frac{1}{2}$

Объединяя результаты обоих случаев (значение $y_0 = 0$ из первого случая входит в промежуток $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$), мы заключаем, что уравнение имеет действительные решения для $x$ при всех $y_0$, принадлежащих отрезку $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Следовательно, область значений функции есть отрезок от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{2}$ включительно.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.