Номер 1040, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1040. Докажите, что при любых значениях $a$, $b$ и $c$ график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$.

Чтобы доказать, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$, нужно показать, что уравнение $y = 0$ имеет хотя бы один действительный корень при любых значениях параметров $a$, $b$ и $c$.

Приравняем функцию к нулю:

$(x - a)(x - b) - c^2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Раскроем скобки, чтобы привести его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x^2 - bx - ax + ab - c^2 = 0$

$x^2 - (a + b)x + (ab - c^2) = 0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -(a + b)$, $C = ab - c^2$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a + b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (ab - c^2)$

Упростим выражение для дискриминанта:

$D = (a + b)^2 - 4(ab - c^2) = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab + 4c^2$

$D = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab + 4c^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 4c^2$

Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат разности:

$D = (a - b)^2 + 4c^2$

Теперь проанализируем знак полученного выражения. Выражение $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a - b)^2 \ge 0$. Аналогично, выражение $c^2$ также неотрицательно, а значит и $4c^2 \ge 0$.

Дискриминант $D$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, $D = (a - b)^2 + 4c^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, $b$ и $c$.

Так как дискриминант уравнения $D \ge 0$ при любых $a, b, c$, то уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень. Это означает, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ всегда имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$.

Ответ: Утверждение доказано. Дискриминант $D = (a - b)^2 + 4c^2$ соответствующего квадратного уравнения неотрицателен при любых действительных $a, b, c$, следовательно, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень, а график функции — хотя бы одну общую точку с осью $x$.