Номер 1038, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1038. Докажите, что многочлен $x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 3x + 9$ не имеет отрицательных корней.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 3x + 9$ не имеет отрицательных корней, достаточно показать, что для любого $x < 0$ значение многочлена $P(x)$ строго положительно.

Преобразуем данный многочлен, сгруппировав слагаемые для выделения полного квадрата:

$P(x) = (x^4 - 6x^2 + 9) - 4x^3 - 3x$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x^2 - 3)^2$. Получаем:

$P(x) = (x^2 - 3)^2 - 4x^3 - 3x$

Теперь вынесем общий множитель из оставшихся слагаемых:

$P(x) = (x^2 - 3)^2 - (4x^3 + 3x) = (x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3)$

Рассмотрим полученное выражение при условии, что $x < 0$. Первое слагаемое, $(x^2 - 3)^2$, является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(x^2 - 3)^2 \geq 0$.

Второе слагаемое — это $-x(4x^2 + 3)$. Проанализируем его знак. Так как по условию $x < 0$, то множитель $-x$ строго положителен. Множитель $(4x^2 + 3)$ также строго положителен для любого действительного $x$, поскольку $x^2 \geq 0$ и, следовательно, $4x^2 + 3 \geq 3$. Произведение двух положительных множителей ($-x$ и $4x^2+3$) даёт положительный результат. Значит, слагаемое $-x(4x^2 + 3)$ строго больше нуля.

Итак, многочлен $P(x)$ для любого $x < 0$ представляет собой сумму неотрицательного слагаемого $(x^2 - 3)^2$ и строго положительного слагаемого $-x(4x^2 + 3)$. Сумма неотрицательного и строго положительного чисел всегда строго положительна.

$P(x) = \underbrace{(x^2 - 3)^2}_{\ge 0} + \underbrace{(-x(4x^2 + 3))}_{> 0} > 0$

Поскольку при любом отрицательном значении $x$ значение многочлена строго больше нуля, он не может равняться нулю. Следовательно, у многочлена нет отрицательных корней.

Ответ: Многочлен был преобразован к виду $(x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3)$. При $x < 0$ первое слагаемое $(x^2 - 3)^2 \geq 0$, а второе слагаемое $-x(4x^2 + 3) > 0$. Сумма неотрицательного и положительного слагаемых всегда положительна, поэтому $P(x) > 0$ для всех $x < 0$, а значит, отрицательных корней нет.