Номер 1032, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1032. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = 2x - 11$ и $y = -5x + 3$;

б) $y = -3x - 10$ и $y = x^2 - 13x + 6$;

в) $y = -3x^2 + x - 3$ и $y = -x^2 + x - 5$;

г) $y = 4x^2 + 3x + 6$ и $y = 3x^2 - 3x - 3$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять выражения, задающие эти функции, и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Затем, подставив найденные значения $x$ в уравнение любой из функций, найти соответствующие значения $y$.

а) $y = 2x - 11$ и $y = -5x + 3$

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 11 = -5x + 3$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$2x + 5x = 3 + 11$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7} = 2$

Теперь найдем координату $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение:

$y = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7$

Координаты точки пересечения: $(2, -7)$.

Ответ: $(2, -7)$.

б) $y = -3x - 10$ и $y = x^2 - 13x + 6$

Приравняем правые части уравнений:

$-3x - 10 = x^2 - 13x + 6$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 13x + 3x + 6 + 10 = 0$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 16$. Подбираем корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

1. При $x_1 = 2$:

$y_1 = -3(2) - 10 = -6 - 10 = -16$

Первая точка пересечения: $(2, -16)$.

2. При $x_2 = 8$:

$y_2 = -3(8) - 10 = -24 - 10 = -34$

Вторая точка пересечения: $(8, -34)$.

Ответ: $(2, -16)$, $(8, -34)$.

в) $y = -3x^2 + x - 3$ и $y = -x^2 + x - 5$

Приравняем правые части уравнений:

$-3x^2 + x - 3 = -x^2 + x - 5$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-3x^2 + x^2 + x - x - 3 + 5 = 0$

$-2x^2 + 2 = 0$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. При $x_1 = 1$ (подставим во второе уравнение для простоты):

$y_1 = -(1)^2 + 1 - 5 = -1 + 1 - 5 = -5$

Первая точка пересечения: $(1, -5)$.

2. При $x_2 = -1$:

$y_2 = -(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 1 - 5 = -7$

Вторая точка пересечения: $(-1, -7)$.

Ответ: $(1, -5)$, $(-1, -7)$.

г) $y = 4x^2 + 3x + 6$ и $y = 3x^2 - 3x - 3$

Приравняем правые части уравнений:

$4x^2 + 3x + 6 = 3x^2 - 3x - 3$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - 3x^2 + 3x + 3x + 6 + 3 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x + 3)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $x = -3$. Это означает, что графики касаются в одной точке.

Найдем координату $y$, подставив $x = -3$ в любое из уравнений:

$y = 4(-3)^2 + 3(-3) + 6 = 4(9) - 9 + 6 = 36 - 9 + 6 = 33$

Координаты точки пересечения (касания): $(-3, 33)$.

Ответ: $(-3, 33)$.