Номер 1029, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1029. В каком промежутке возрастает и в каком убывает квадратичная функция:

a) $y = 2x^2 + 10x - 7;$

б) $y = -3x^2 + x + 5;$

в) $y = 4x^2 + 2x;$

г) $y = 3x - 5x^2?$

Для определения промежутков возрастания и убывания квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ нужно найти абсциссу вершины параболы, которая вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Характер монотонности функции зависит от знака старшего коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, +\infty)$.

а) $y = 2x^2 + 10x - 7$

В данной функции коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 10$, $c = -7$.

Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция сначала убывает до вершины, а затем возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -2.5$.

Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty, -2.5]$ и возрастает при $x \in [-2.5, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2.5, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -2.5]$.

б) $y = -3x^2 + x + 5$

Здесь коэффициенты: $a = -3$, $b = 1$, $c = 5$.

Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция сначала возрастает до вершины, а затем убывает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$.

Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает при $x \in [\frac{1}{6}, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{6}, +\infty)$.

в) $y = 4x^2 + 2x$

Коэффициенты функции: $a = 4$, $b = 2$, $c = 0$.

Так как $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины, после чего возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -0.25$.

Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty, -0.25]$ и возрастает при $x \in [-0.25, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.25, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -0.25]$.

г) $y = 3x - 5x^2$

Представим функцию в стандартном виде: $y = -5x^2 + 3x$.

Коэффициенты: $a = -5$, $b = 3$, $c = 0$.

Поскольку $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает до вершины, а затем убывает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-5)} = -\frac{3}{-10} = 0.3$.

Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty, 0.3]$ и убывает при $x \in [0.3, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0.3]$ и убывает на промежутке $[0.3, +\infty)$.