Номер 1030, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1030. Постройте график функции:

a) $y = \frac{8}{x}$;

б) $y = -\frac{3}{x}$.

В каждом случае укажите значения $x$, при которых $y > 0$; $y < 0$.

а) $y = \frac{8}{x}$

1. Построение графика.
Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=8$. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, т.е. все действительные числа, кроме $x=0$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, т.е. все действительные числа, кроме $y=0$.
- Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек.

Для ветви в I четверти ($x>0$):
При $x=1$, $y=8$. Точка $(1; 8)$.
При $x=2$, $y=4$. Точка $(2; 4)$.
При $x=4$, $y=2$. Точка $(4; 2)$.
При $x=8$, $y=1$. Точка $(8; 1)$.

Для ветви в III четверти ($x<0$):
При $x=-1$, $y=-8$. Точка $(-1; -8)$.
При $x=-2$, $y=-4$. Точка $(-2; -4)$.
При $x=-4$, $y=-2$. Точка $(-4; -2)$.
При $x=-8$, $y=-1$. Точка $(-8; -1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, которые приближаются к осям координат, получим график гиперболы.

2. Определение знаков функции.
Найдём значения $x$, при которых $y > 0$:
Неравенство $\frac{8}{x} > 0$ справедливо, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель $8$ положителен, знаменатель $x$ также должен быть положителен. Таким образом, $y > 0$ при $x > 0$.

Найдём значения $x$, при которых $y < 0$:
Неравенство $\frac{8}{x} < 0$ справедливо, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $8$ положителен, знаменатель $x$ должен быть отрицателен. Таким образом, $y < 0$ при $x < 0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

б) $y = -\frac{3}{x}$

1. Построение графика.
Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=-3$. Графиком является гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Основные свойства функции аналогичны предыдущему случаю:
- Область определения: $x \neq 0$.
- Область значений: $y \neq 0$.
- Асимптоты: оси координат $x=0$ и $y=0$.

Составим таблицу значений для построения графика.

Для ветви во II четверти ($x<0$):
При $x=-1$, $y = - \frac{3}{-1} = 3$. Точка $(-1; 3)$.
При $x=-3$, $y = - \frac{3}{-3} = 1$. Точка $(-3; 1)$.
При $x=-0.5$, $y = - \frac{3}{-0.5} = 6$. Точка $(-0.5; 6)$.

Для ветви в IV четверти ($x>0$):
При $x=1$, $y = - \frac{3}{1} = -3$. Точка $(1; -3)$.
При $x=3$, $y = - \frac{3}{3} = -1$. Точка $(3; -1)$.
При $x=0.5$, $y = - \frac{3}{0.5} = -6$. Точка $(0.5; -6)$.

Отметив эти точки и соединив их плавными кривыми, приближающимися к осям, получим график гиперболы.

2. Определение знаков функции.
Найдём значения $x$, при которых $y > 0$:
$-\frac{3}{x} > 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный: $\frac{3}{x} < 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет отрицательной, если знаменатель $x$ отрицателен. Таким образом, $y > 0$ при $x < 0$.

Найдём значения $x$, при которых $y < 0$:
$-\frac{3}{x} < 0$. Умножим обе части на $-1$: $\frac{3}{x} > 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет положительной, если знаменатель $x$ также положителен. Таким образом, $y < 0$ при $x > 0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.