Номер 1026, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1026. Постройте график функции $y = -0.5x^2 + x + 1.5$. При каких значениях $x$ значение $y$ равно нулю; больше нуля; меньше нуля? В каком промежутке эта функция возрастает и в каком промежутке убывает? Каково наибольшее значение этой функции?

Постройте график функции $y = -0,5x^2 + x + 1,5$.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -0,5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдём его ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
$x_0 = -b / (2a) = -1 / (2 \cdot (-0,5)) = -1 / (-1) = 1$.
$y_0 = -0,5 \cdot (1)^2 + 1 + 1,5 = -0,5 + 1 + 1,5 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Прямая $x=1$ является осью симметрии параболы.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0,5 \cdot 0^2 + 0 + 1,5 = 1,5$. Точка пересечения — $(0; 1,5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$.
Умножим уравнение на -2 для удобства вычислений:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = (2 - \sqrt{16}) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1$.
$x_2 = (2 + \sqrt{16}) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox — это $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Дополнительные точки.
Используя ось симметрии $x=1$, найдём точку, симметричную точке $(0; 1,5)$. Это точка $(2; 1,5)$.
Найдём значение функции при $x=4$: $y = -0,5 \cdot 4^2 + 4 + 1,5 = -0,5 \cdot 16 + 5,5 = -8 + 5,5 = -2,5$. Точка $(4; -2,5)$.

Нанеся точки $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0; 1,5)$, $(1, 2)$, $(2; 1,5)$, $(4; -2,5)$ на координатную плоскость и соединив их плавной линией, мы построим график функции.

Ответ: График функции — это парабола с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке $(1, 2)$, пересекающая ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ и ось Oy в точке $(0; 1,5)$.

При каких значениях $x$ значение $y$ равно нулю; больше нуля; меньше нуля?

Анализ проведём на основе построенного графика и найденных ранее точек.

1. Значение $y$ равно нулю в точках пересечения графика с осью Ox (нули функции). Мы нашли их, решив уравнение $-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$. Это происходит при $x = -1$ и $x = 3$.

2. Значение $y$ больше нуля ($y > 0$) на том промежутке оси $x$, где график функции расположен выше оси Ox. Так как ветви параболы направлены вниз, это интервал между корнями. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-1, 3)$.

3. Значение $y$ меньше нуля ($y < 0$) на тех промежутках оси $x$, где график функции расположен ниже оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $y=0$ при $x=-1$ и $x=3$; $y>0$ при $x \in (-1, 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

В каком промежутке эта функция возрастает и в каком промежутке убывает?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после неё. Абсцисса вершины параболы $x_0 = 1$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

Каково наибольшее значение этой функции?

Поскольку ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине. Ордината (значение $y$) вершины параболы равна 2.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 2.