Номер 1028, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1028. Постройте график функции:

а) $y = 2x^2 - 2$;

б) $y = -x^2 + 1.5$;

в) $y = x^2 - 4x$;

г) $y = 1.5x^2 + 6x$;

д) $y = x^2 + x - 6$;

е) $y = 3x^2 - 6x + 5.

В каждом случае укажите наименьшее (или наибольшее) значение функции.

Для построения графика каждой квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и нахождения ее наименьшего или наибольшего значения, мы будем следовать общему плану:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение. Если $a < 0$, ветви направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$. Значение $y_0$ и будет наименьшим или наибольшим значением функции.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат: с осью OY (полагая $x=0$) и с осью OX (полагая $y=0$).
4. Найти несколько дополнительных точек для более точного построения графика.
5. Построить график, соединив полученные точки плавной кривой.

а) $y = 2x^2 - 2$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 0$, $c = -2$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. $y_0 = 2(0)^2 - 2 = -2$. Вершина находится в точке $(0, -2)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = -2$. Точка $(0, -2)$.
С осью OX: при $y=0$, $2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
4. Дополнительные точки. При $x=2$, $y = 2(2)^2 - 2 = 6$. Точка $(2, 6)$. Симметричная ей точка $(-2, 6)$.
5. Построение. Строим параболу с вершиной в $(0, -2)$, проходящую через точки $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(-2, 6)$, $(2, 6)$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2.

б) $y = -x^2 + 1,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = 0$, $c = 1,5$.
1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$. $y_0 = -(0)^2 + 1,5 = 1,5$. Вершина находится в точке $(0, 1,5)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 1,5$. Точка $(0, 1,5)$.
С осью OX: при $y=0$, $-x^2 + 1,5 = 0 \implies x^2 = 1,5 \implies x = \pm \sqrt{1,5} \approx \pm 1,22$. Точки $(-\sqrt{1,5}, 0)$ и $(\sqrt{1,5}, 0)$.
4. Дополнительные точки. При $x=1$, $y = -(1)^2 + 1,5 = 0,5$. Точка $(1, 0,5)$. Симметричная ей точка $(-1, 0,5)$.
5. Построение. Строим параболу с вершиной в $(0, 1,5)$, проходящую через точки $(\pm \sqrt{1,5}, 0)$, $(\pm 1, 0,5)$.
Наибольшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = 1,5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1,5.

в) $y = x^2 - 4x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = 0$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
4. Построение. Строим параболу с вершиной в $(2, -4)$, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Ось симметрии $x=2$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4.

г) $y = 1,5x^2 + 6x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1,5$, $b = 6$, $c = 0$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 1,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1,5} = -\frac{6}{3} = -2$. $y_0 = 1,5(-2)^2 + 6(-2) = 1,5 \cdot 4 - 12 = 6 - 12 = -6$. Вершина находится в точке $(-2, -6)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $1,5x^2 + 6x = 0 \implies x(1,5x + 6) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -4$. Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.
4. Построение. Строим параболу с вершиной в $(-2, -6)$, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$. Ось симметрии $x=-2$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -6$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6.

д) $y = x^2 + x - 6$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0,5$. $y_0 = (-0,5)^2 + (-0,5) - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25$. Вершина находится в точке $(-0,5, -6,25)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = -6$. Точка $(0, -6)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 2, x_2 = -3$. Точки $(2, 0)$ и $(-3, 0)$.
4. Построение. Строим параболу с вершиной в $(-0,5, -6,25)$, проходящую через точки $(0, -6)$, $(2, 0)$, $(-3, 0)$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -6,25$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6,25.

е) $y = 3x^2 - 6x + 5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 3$, $b = -6$, $c = 5$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$. $y_0 = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$. Вершина находится в точке $(1, 2)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 5$. Точка $(0, 5)$.
С осью OX: при $y=0$, $3x^2 - 6x + 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24 < 0$. Действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.
4. Дополнительные точки. Ось симметрии $x=1$. Точка $(0, 5)$ симметрична точке $(2, 5)$.
5. Построение. Строим параболу с вершиной в $(1, 2)$, проходящую через точки $(0, 5)$ и $(2, 5)$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 2.