Номер 1035, страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1035. Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \ge 0, \\ -x, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x \le -1, \\ 1, & \text{если } -1 < x \le 1, \\ 2 - x, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \ge 0, \\ -x^2 + 1, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1, \\ -x^2 + 2x + 1, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

а)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \geq 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $.

Для построения графика этой функции необходимо построить график каждой из двух функций на заданном для нее промежутке.

1. При $x \geq 0$ строим график функции $y = 0,5x$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Поскольку область определения — луч $x \geq 0$, то и график будет лучом, выходящим из точки, где $x=0$.Найдем координаты двух точек:
Если $x=0$, то $y = 0,5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0,0)$.
Если $x=4$, то $y = 0,5 \cdot 4 = 2$. Получаем точку $(4,2)$.Соединяем эти точки и получаем луч с началом в точке $(0,0)$.

2. При $x < 0$ строим график функции $y = -x$. Это также линейная функция, ее график — прямая (биссектриса II и IV координатных четвертей). Область определения $x < 0$ означает, что мы берем часть прямой, находящуюся левее оси $Oy$. Это луч, выходящий из точки $(0,0)$ (сама точка не включается).Найдем координаты двух точек на этом луче:
Если $x=-1$, то $y = -(-1) = 1$. Получаем точку $(-1,1)$.
Если $x=-3$, то $y = -(-3) = 3$. Получаем точку $(-3,3)$.Строим луч, проходящий через эти точки, с началом в $(0,0)$.

Поскольку обе части графика "сходятся" в точке $(0,0)$, функция является непрерывной.
Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из двух лучей, выходящих из начала координат $(0,0)$. Один луч проходит через точку $(4,2)$ в первой координатной четверти, другой — через точку $(-1,1)$ во второй координатной четверти.

б)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} 2+x, & \text{если } x \leq -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x \leq 1 \\ 2-x, & \text{если } x > 1 \end{cases} $.

График состоит из трех частей.

1. При $x \leq -1$ строим график функции $y = 2+x$. Это линейная функция, ее график — луч.Найдем координаты точек:
На границе промежутка, при $x=-1$, $y = 2+(-1) = 1$. Точка $(-1,1)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку, например, $x=-3$. Тогда $y = 2+(-3) = -1$. Точка $(-3,-1)$.Строим луч, проходящий через точки $(-3,-1)$ и $(-1,1)$.

2. При $-1 < x \leq 1$ строим график функции $y=1$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный отрезок прямой.
На левой границе, при $x=-1$, значение $y=1$. Точка $(-1,1)$ не принадлежит этому участку (выколотая точка).
На правой границе, при $x=1$, значение $y=1$. Точка $(1,1)$ принадлежит этому участку.Таким образом, это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-1,1)$ и $(1,1)$.

3. При $x > 1$ строим график функции $y = 2-x$. Это линейная функция, ее график — луч.Найдем координаты точек:
На границе промежутка, при $x=1$, $y = 2-1 = 1$. Точка $(1,1)$ не принадлежит этому участку (выколотая точка).
Возьмем еще одну точку, например, $x=3$. Тогда $y=2-3=-1$. Точка $(3,-1)$.Строим луч, выходящий из точки $(1,1)$ и проходящий через $(3,-1)$.

Соединяем все части. В точке $x=-1$ первая часть заканчивается в точке $(-1,1)$, а вторая начинается из этой же точки (хотя сама точка принадлежит первой части). В точке $x=1$ вторая часть заканчивается в точке $(1,1)$, а третья начинается из этой же точки. Таким образом, график является непрерывной линией.
Ответ: График функции — непрерывная ломаная линия, напоминающая трапецию без нижнего основания. Она состоит из луча, идущего из бесконечности до точки $(-1,1)$, горизонтального отрезка от $(-1,1)$ до $(1,1)$, и луча, идущего из точки $(1,1)$ в бесконечность.

в)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^2+1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $.

График состоит из двух частей, являющихся частями парабол.

1. При $x \geq 0$ строим график функции $y=2x^2$. Это парабола с ветвями вверх, растянутая вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Поскольку мы рассматриваем $x \geq 0$, нам нужна только правая ветвь параболы.
Ключевые точки: $(0,0)$ — вершина, принадлежит графику.
При $x=1$, $y=2(1)^2=2$. Точка $(1,2)$.
При $x=2$, $y=2(2)^2=8$. Точка $(2,8)$.

2. При $x < 0$ строим график функции $y=-x^2+1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее график получен из графика параболы $y=-x^2$ сдвигом вверх на 1 единицу. Вершина параболы находится в точке $(0,1)$. Поскольку мы рассматриваем $x < 0$, нам нужна только левая ветвь параболы.
На границе промежутка, при $x \to 0$, $y \to 1$. Точка $(0,1)$ является граничной, но не принадлежит графику (выколотая точка).
При $x=-1$, $y=-(-1)^2+1=0$. Точка $(-1,0)$.
При $x=-2$, $y=-(-2)^2+1=-3$. Точка $(-2,-3)$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Слева график стремится к точке $(0,1)$, а справа начинается из точки $(0,0)$. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: График состоит из двух частей парабол. При $x \geq 0$ — правая ветвь параболы $y=2x^2$, выходящая из точки $(0,0)$. При $x < 0$ — левая ветвь параболы $y=-x^2+1$, которая проходит через точку $(-1,0)$ и стремится к точке $(0,1)$. В точке $x=0$ происходит скачок.

г)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1 \\ -x^2+2x+1, & \text{если } x \geq 1 \end{cases} $.

График состоит из двух частей парабол.

1. При $x < 1$ строим график функции $y=x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх. Мы берем ее часть, расположенную левее прямой $x=1$.
Ключевые точки: $(0,0)$ — вершина.
На границе промежутка, при $x \to 1$, $y \to 1^2=1$. Точка $(1,1)$ является граничной, но не принадлежит графику (выколотая точка).

2. При $x \geq 1$ строим график функции $y=-x^2+2x+1$. Это парабола с ветвями вниз. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$.
$y_v = -(1)^2+2(1)+1 = -1+2+1 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(1,2)$. Поскольку мы рассматриваем $x \geq 1$, график начинается в своей вершине и идет вправо-вниз. Точка $(1,2)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку, например, $x=2$. Тогда $y = -(2)^2+2(2)+1 = -4+4+1=1$. Точка $(2,1)$.

В точке $x=1$ функция имеет разрыв. Слева график стремится к точке $(1,1)$, а справа начинается из точки $(1,2)$. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: График состоит из двух частей парабол. При $x < 1$ — часть параболы $y=x^2$, проходящая через $(0,0)$ и стремящаяся к точке $(1,1)$. При $x \geq 1$ — правая половина параболы $y=-x^2+2x+1$ с вершиной в точке $(1,2)$. В точке $x=1$ происходит скачок от $(1,1)$ к $(1,2)$.