Страница 241 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1032. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = 2x - 11$ и $y = -5x + 3$;

б) $y = -3x - 10$ и $y = x^2 - 13x + 6$;

в) $y = -3x^2 + x - 3$ и $y = -x^2 + x - 5$;

г) $y = 4x^2 + 3x + 6$ и $y = 3x^2 - 3x - 3$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять выражения, задающие эти функции, и решить полученное уравнение относительно переменной $x$. Затем, подставив найденные значения $x$ в уравнение любой из функций, найти соответствующие значения $y$.

а) $y = 2x - 11$ и $y = -5x + 3$

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 11 = -5x + 3$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$2x + 5x = 3 + 11$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7} = 2$

Теперь найдем координату $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение:

$y = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7$

Координаты точки пересечения: $(2, -7)$.

Ответ: $(2, -7)$.

б) $y = -3x - 10$ и $y = x^2 - 13x + 6$

Приравняем правые части уравнений:

$-3x - 10 = x^2 - 13x + 6$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 13x + 3x + 6 + 10 = 0$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 16$. Подбираем корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

1. При $x_1 = 2$:

$y_1 = -3(2) - 10 = -6 - 10 = -16$

Первая точка пересечения: $(2, -16)$.

2. При $x_2 = 8$:

$y_2 = -3(8) - 10 = -24 - 10 = -34$

Вторая точка пересечения: $(8, -34)$.

Ответ: $(2, -16)$, $(8, -34)$.

в) $y = -3x^2 + x - 3$ и $y = -x^2 + x - 5$

Приравняем правые части уравнений:

$-3x^2 + x - 3 = -x^2 + x - 5$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-3x^2 + x^2 + x - x - 3 + 5 = 0$

$-2x^2 + 2 = 0$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. При $x_1 = 1$ (подставим во второе уравнение для простоты):

$y_1 = -(1)^2 + 1 - 5 = -1 + 1 - 5 = -5$

Первая точка пересечения: $(1, -5)$.

2. При $x_2 = -1$:

$y_2 = -(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 1 - 5 = -7$

Вторая точка пересечения: $(-1, -7)$.

Ответ: $(1, -5)$, $(-1, -7)$.

г) $y = 4x^2 + 3x + 6$ и $y = 3x^2 - 3x - 3$

Приравняем правые части уравнений:

$4x^2 + 3x + 6 = 3x^2 - 3x - 3$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - 3x^2 + 3x + 3x + 6 + 3 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x + 3)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $x = -3$. Это означает, что графики касаются в одной точке.

Найдем координату $y$, подставив $x = -3$ в любое из уравнений:

$y = 4(-3)^2 + 3(-3) + 6 = 4(9) - 9 + 6 = 36 - 9 + 6 = 33$

Координаты точки пересечения (касания): $(-3, 33)$.

Ответ: $(-3, 33)$.

1033. Задайте формулой функцию, график которой симметричен графику функции $y = 2x - 4$:

а) относительно оси $y$;

б) относительно оси $x$;

в) относительно начала координат.

а) относительно оси y;

Чтобы найти формулу функции, график которой симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно оси ординат (оси $y$), нужно в исходной формуле заменить переменную $x$ на $-x$. Исходная функция задана формулой: $y = 2x - 4$. Заменяем $x$ на $-x$: $y = 2(-x) - 4$ Упрощая полученное выражение, получаем искомую функцию: $y = -2x - 4$

Ответ: $y = -2x - 4$

б) относительно оси x;

Чтобы найти формулу функции, график которой симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси $x$), нужно в исходной формуле заменить $y$ на $-y$. Это эквивалентно умножению всей правой части исходной формулы на $-1$. Исходная функция: $y = 2x - 4$. Умножаем правую часть на $-1$: $y = -(2x - 4)$ Раскрываем скобки и получаем искомую функцию: $y = -2x + 4$

Ответ: $y = -2x + 4$

в) относительно начала координат.

Чтобы найти формулу функции, график которой симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно начала координат (точки $(0, 0)$), нужно в исходной формуле одновременно заменить $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$. Исходная функция: $y = 2x - 4$. Производим двойную замену: $-y = 2(-x) - 4$ Упрощаем правую часть: $-y = -2x - 4$ Далее, чтобы выразить $y$, умножим обе части уравнения на $-1$: $y = -(-2x - 4)$ Раскрываем скобки и получаем искомую функцию: $y = 2x + 4$

Ответ: $y = 2x + 4$

1034. Постройте график функции:

a) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2};$

б) $y = \frac{x^2 - 2x}{x};$

в) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{2 - x}.$

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Для построения графика сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 2$.

Далее упростим выражение для функции. Числитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов, поэтому его можно разложить на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$.

Поскольку $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$, получив линейную функцию $y = x + 2$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x + 2$, из которой удалена точка, соответствующая $x = 2$. Такую точку называют "выколотой".

Найдём координаты этой выколотой точки. Подставим $x = 2$ в упрощённое уравнение прямой: $y = 2 + 2 = 4$.

Итак, график функции — это прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$. Для построения прямой можно взять две точки, например, $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

б) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$

Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Упростим выражение. В числителе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

Функция примет вид: $y = \frac{x(x - 2)}{x}$.

Так как $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$. В результате получаем линейную функцию $y = x - 2$.

Графиком исходной функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой при $x = 0$.

Найдём координаты этой точки. Подставим $x = 0$ в упрощённое уравнение: $y = 0 - 2 = -2$.

Следовательно, график функции — это прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$. Для построения прямой можно взять точки $(2, 0)$ и $(1, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$.

в) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{2 - x}$

Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Упростим выражение. Разложим числитель $x^2 - 3x + 2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Тогда числитель можно представить в виде: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Подставим это в исходную функцию: $y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2 - x}$.

Заметим, что $(x - 2) = -(2 - x)$. Преобразуем выражение: $y = \frac{(x - 1)(-(2 - x))}{2 - x}$.

Поскольку $x \neq 2$, сокращаем дробь на $(2 - x)$ и получаем $y = -(x - 1)$, что равносильно $y = -x + 1$.

Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой при $x = 2$.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим $x = 2$ в упрощённое уравнение: $y = -2 + 1 = -1$.

Итак, график функции — это прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(2, -1)$. Для построения прямой можно взять точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(2, -1)$.

1035. Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \ge 0, \\ -x, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x \le -1, \\ 1, & \text{если } -1 < x \le 1, \\ 2 - x, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \ge 0, \\ -x^2 + 1, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1, \\ -x^2 + 2x + 1, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

а)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \geq 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $.

Для построения графика этой функции необходимо построить график каждой из двух функций на заданном для нее промежутке.

1. При $x \geq 0$ строим график функции $y = 0,5x$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Поскольку область определения — луч $x \geq 0$, то и график будет лучом, выходящим из точки, где $x=0$.Найдем координаты двух точек:
Если $x=0$, то $y = 0,5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0,0)$.
Если $x=4$, то $y = 0,5 \cdot 4 = 2$. Получаем точку $(4,2)$.Соединяем эти точки и получаем луч с началом в точке $(0,0)$.

2. При $x < 0$ строим график функции $y = -x$. Это также линейная функция, ее график — прямая (биссектриса II и IV координатных четвертей). Область определения $x < 0$ означает, что мы берем часть прямой, находящуюся левее оси $Oy$. Это луч, выходящий из точки $(0,0)$ (сама точка не включается).Найдем координаты двух точек на этом луче:
Если $x=-1$, то $y = -(-1) = 1$. Получаем точку $(-1,1)$.
Если $x=-3$, то $y = -(-3) = 3$. Получаем точку $(-3,3)$.Строим луч, проходящий через эти точки, с началом в $(0,0)$.

Поскольку обе части графика "сходятся" в точке $(0,0)$, функция является непрерывной.
Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из двух лучей, выходящих из начала координат $(0,0)$. Один луч проходит через точку $(4,2)$ в первой координатной четверти, другой — через точку $(-1,1)$ во второй координатной четверти.

б)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} 2+x, & \text{если } x \leq -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x \leq 1 \\ 2-x, & \text{если } x > 1 \end{cases} $.

График состоит из трех частей.

1. При $x \leq -1$ строим график функции $y = 2+x$. Это линейная функция, ее график — луч.Найдем координаты точек:
На границе промежутка, при $x=-1$, $y = 2+(-1) = 1$. Точка $(-1,1)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку, например, $x=-3$. Тогда $y = 2+(-3) = -1$. Точка $(-3,-1)$.Строим луч, проходящий через точки $(-3,-1)$ и $(-1,1)$.

2. При $-1 < x \leq 1$ строим график функции $y=1$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный отрезок прямой.
На левой границе, при $x=-1$, значение $y=1$. Точка $(-1,1)$ не принадлежит этому участку (выколотая точка).
На правой границе, при $x=1$, значение $y=1$. Точка $(1,1)$ принадлежит этому участку.Таким образом, это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(-1,1)$ и $(1,1)$.

3. При $x > 1$ строим график функции $y = 2-x$. Это линейная функция, ее график — луч.Найдем координаты точек:
На границе промежутка, при $x=1$, $y = 2-1 = 1$. Точка $(1,1)$ не принадлежит этому участку (выколотая точка).
Возьмем еще одну точку, например, $x=3$. Тогда $y=2-3=-1$. Точка $(3,-1)$.Строим луч, выходящий из точки $(1,1)$ и проходящий через $(3,-1)$.

Соединяем все части. В точке $x=-1$ первая часть заканчивается в точке $(-1,1)$, а вторая начинается из этой же точки (хотя сама точка принадлежит первой части). В точке $x=1$ вторая часть заканчивается в точке $(1,1)$, а третья начинается из этой же точки. Таким образом, график является непрерывной линией.
Ответ: График функции — непрерывная ломаная линия, напоминающая трапецию без нижнего основания. Она состоит из луча, идущего из бесконечности до точки $(-1,1)$, горизонтального отрезка от $(-1,1)$ до $(1,1)$, и луча, идущего из точки $(1,1)$ в бесконечность.

в)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^2+1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $.

График состоит из двух частей, являющихся частями парабол.

1. При $x \geq 0$ строим график функции $y=2x^2$. Это парабола с ветвями вверх, растянутая вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Поскольку мы рассматриваем $x \geq 0$, нам нужна только правая ветвь параболы.
Ключевые точки: $(0,0)$ — вершина, принадлежит графику.
При $x=1$, $y=2(1)^2=2$. Точка $(1,2)$.
При $x=2$, $y=2(2)^2=8$. Точка $(2,8)$.

2. При $x < 0$ строим график функции $y=-x^2+1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее график получен из графика параболы $y=-x^2$ сдвигом вверх на 1 единицу. Вершина параболы находится в точке $(0,1)$. Поскольку мы рассматриваем $x < 0$, нам нужна только левая ветвь параболы.
На границе промежутка, при $x \to 0$, $y \to 1$. Точка $(0,1)$ является граничной, но не принадлежит графику (выколотая точка).
При $x=-1$, $y=-(-1)^2+1=0$. Точка $(-1,0)$.
При $x=-2$, $y=-(-2)^2+1=-3$. Точка $(-2,-3)$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Слева график стремится к точке $(0,1)$, а справа начинается из точки $(0,0)$. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: График состоит из двух частей парабол. При $x \geq 0$ — правая ветвь параболы $y=2x^2$, выходящая из точки $(0,0)$. При $x < 0$ — левая ветвь параболы $y=-x^2+1$, которая проходит через точку $(-1,0)$ и стремится к точке $(0,1)$. В точке $x=0$ происходит скачок.

г)

Дана кусочно-заданная функция $ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1 \\ -x^2+2x+1, & \text{если } x \geq 1 \end{cases} $.

График состоит из двух частей парабол.

1. При $x < 1$ строим график функции $y=x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх. Мы берем ее часть, расположенную левее прямой $x=1$.
Ключевые точки: $(0,0)$ — вершина.
На границе промежутка, при $x \to 1$, $y \to 1^2=1$. Точка $(1,1)$ является граничной, но не принадлежит графику (выколотая точка).

2. При $x \geq 1$ строим график функции $y=-x^2+2x+1$. Это парабола с ветвями вниз. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$.
$y_v = -(1)^2+2(1)+1 = -1+2+1 = 2$.
Вершина параболы находится в точке $(1,2)$. Поскольку мы рассматриваем $x \geq 1$, график начинается в своей вершине и идет вправо-вниз. Точка $(1,2)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку, например, $x=2$. Тогда $y = -(2)^2+2(2)+1 = -4+4+1=1$. Точка $(2,1)$.

В точке $x=1$ функция имеет разрыв. Слева график стремится к точке $(1,1)$, а справа начинается из точки $(1,2)$. Это разрыв первого рода (скачок).
Ответ: График состоит из двух частей парабол. При $x < 1$ — часть параболы $y=x^2$, проходящая через $(0,0)$ и стремящаяся к точке $(1,1)$. При $x \geq 1$ — правая половина параболы $y=-x^2+2x+1$ с вершиной в точке $(1,2)$. В точке $x=1$ происходит скачок от $(1,1)$ к $(1,2)$.