Страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

985. Найдите номер члена арифметической прогрессии ($a_n$), равного 3, если $a_1 = 48,5$ и $d = -1,3$. Является ли членом этой прогрессии число -3,5; 15?

Для решения задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность, а $n$ — номер члена прогрессии. Номер $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = 48,5$, а разность $d = -1,3$.

Найдите номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного 3

Чтобы найти номер члена прогрессии, равного 3, подставим $a_n = 3$ в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$3 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$
$3 - 48,5 = -1,3(n-1)$
$-45,5 = -1,3(n-1)$
Теперь разделим обе части уравнения на -1,3:
$n-1 = \frac{-45,5}{-1,3}$
$n-1 = \frac{455}{13}$
$n-1 = 35$
$n = 35 + 1$
$n = 36$
Поскольку мы получили натуральное число $n=36$, это означает, что число 3 является 36-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: 36.

Является ли членом этой прогрессии число -3,5; 15?

Чтобы определить, являются ли данные числа членами прогрессии, необходимо для каждого из них проверить, существует ли натуральный номер $n$.

Проверка для числа -3,5:
Пусть $a_n = -3,5$. Подставим это значение в формулу:
$-3,5 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$
$-3,5 - 48,5 = -1,3(n-1)$
$-52 = -1,3(n-1)$
$n-1 = \frac{-52}{-1,3}$
$n-1 = \frac{520}{13}$
$n-1 = 40$
$n = 40 + 1 = 41$
Так как $n = 41$ является натуральным числом, то число -3,5 является членом данной прогрессии (41-м по счету).

Проверка для числа 15:
Пусть $a_n = 15$. Подставим это значение в формулу:
$15 = 48,5 + (n-1) \cdot (-1,3)$
$15 - 48,5 = -1,3(n-1)$
$-33,5 = -1,3(n-1)$
$n-1 = \frac{-33,5}{-1,3}$
$n-1 = \frac{335}{13}$
Поскольку 335 не делится на 13 без остатка ($335 = 13 \cdot 25 + 10$), значение $n-1$ не является целым числом. Следовательно, и $n$ ($n = \frac{335}{13} + 1 = \frac{348}{13}$) не является натуральным числом. Это означает, что число 15 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: число -3,5 является членом прогрессии, а число 15 не является.

986. В арифметической прогрессии четырнадцатый член равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Четырнадцатый член прогрессии: $a_{14} = 140$.
Сумма первых четырнадцати членов: $S_{14} = 1050$.

Для нахождения первого члена ($a_1$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные значения при $n=14$:
$1050 = \frac{a_1 + 140}{2} \cdot 14$

Сократим 2 и 14, чтобы упростить уравнение:
$1050 = (a_1 + 140) \cdot 7$

Теперь разделим обе части уравнения на 7:
$a_1 + 140 = \frac{1050}{7}$
$a_1 + 140 = 150$

Отсюда находим значение первого члена $a_1$:
$a_1 = 150 - 140$
$a_1 = 10$

Далее найдем разность прогрессии ($d$), используя формулу $n$-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу известные нам значения $a_{14}=140$ и найденное значение $a_1=10$:
$140 = 10 + (14-1)d$
$140 = 10 + 13d$

Решим полученное уравнение относительно $d$:
$13d = 140 - 10$
$13d = 130$
$d = \frac{130}{13}$
$d = 10$

Ответ: первый член равен 10, разность прогрессии равна 10.

987. Последовательность $ (a_n) $ – арифметическая прогрессия. Известно, что $ a_6 = -6 $ и $ a_{16} = 17.5 $. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

По условию, последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Известны ее члены $a_6 = -6$ и $a_{16} = 17,5$. Необходимо найти сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии, $S_{16}$.

Для решения задачи нам понадобятся разность прогрессии $d$ и ее первый член $a_1$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$. Воспользуемся формулой, связывающей любые два члена арифметической прогрессии: $a_m = a_k + (m-k)d$.
Подставим известные значения для $m=16$ и $k=6$:
$a_{16} = a_6 + (16-6)d$
$17,5 = -6 + 10d$
Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$10d = 17,5 + 6$
$10d = 23,5$
$d = 2,35$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член прогрессии $a_1$. Воспользуемся формулой n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ для $n=6$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d$
$-6 = a_1 + 5 \cdot 2,35$
$-6 = a_1 + 11,75$
$a_1 = -6 - 11,75$
$a_1 = -17,75$

Наконец, вычислим сумму первых шестнадцати членов $S_{16}$ по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Мы знаем $a_1 = -17,75$, $a_{16} = 17,5$ и $n=16$.
$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{-17,75 + 17,5}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{-0,25}{2} \cdot 16$
$S_{16} = -0,125 \cdot 16$
$S_{16} = -2$

Ответ: -2

988. В арифметической прогрессии первый член равен $a_1 = 28$, а сумма первых двадцати пяти членов равна $S_{25} = 925$. Найдите разность и тридцатый член этой прогрессии.

По условию задачи, мы имеем дело с арифметической прогрессией. Обозначим её первый член как $a_1$, разность как $d$, и сумму первых $n$ членов как $S_n$.

Из условия нам известны следующие данные:
Первый член прогрессии: $a_1 = 28$.
Сумма первых двадцати пяти членов: $S_{25} = 925$.

разность

Чтобы найти разность прогрессии $d$, мы можем использовать формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $n = 25$, $a_1 = 28$ и $S_{25} = 925$.
$925 = \frac{2 \cdot 28 + d(25-1)}{2} \cdot 25$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $d$:
$925 = \frac{56 + 24d}{2} \cdot 25$
Разделим обе части уравнения на 25:
$\frac{925}{25} = \frac{56 + 24d}{2}$
$37 = \frac{56 + 24d}{2}$
Умножим обе части на 2:
$74 = 56 + 24d$
Перенесем 56 в левую часть уравнения:
$74 - 56 = 24d$
$18 = 24d$
Отсюда находим $d$:
$d = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: разность прогрессии равна $0.75$.

тридцатый член

Для нахождения тридцатого члена прогрессии, $a_{30}$, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n-1)$

Подставим значения $a_1 = 28$, $d = 0.75$ и $n = 30$:
$a_{30} = 28 + 0.75 \cdot (30 - 1)$
$a_{30} = 28 + 0.75 \cdot 29$
$a_{30} = 28 + 21.75$
$a_{30} = 49.75$

Ответ: тридцатый член этой прогрессии равен $49.75$.

989. В арифметической прогрессии $(a_n)$ сумма шестого и десятого членов равна 5,9, а разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи мы имеем два утверждения, которые можно записать в виде системы уравнений.

1. Сумма шестого и десятого членов равна 5,9:
$a_6 + a_{10} = 5,9$
Используя формулу n-го члена, выразим $a_6$ и $a_{10}$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 9d) = 5,9$
$2a_1 + 14d = 5,9$

2. Разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2:
$a_{12} - a_4 = 2$
Выразим $a_{12}$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 11d) - (a_1 + 3d) = 2$
$a_1 + 11d - a_1 - 3d = 2$
$8d = 2$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:
$\begin{cases} 2a_1 + 14d = 5,9 \\ 8d = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения легко найти разность прогрессии $d$:
$d = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член $a_1$:
$2a_1 + 14 \cdot (0,25) = 5,9$
$2a_1 + 3,5 = 5,9$
$2a_1 = 5,9 - 3,5$
$2a_1 = 2,4$
$a_1 = \frac{2,4}{2} = 1,2$

Нам необходимо найти двадцать пятый член этой прогрессии, то есть $a_{25}$. Воспользуемся формулой n-го члена, подставив $n=25$, $a_1=1,2$ и $d=0,25$:
$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$
$a_{25} = 1,2 + 24 \cdot 0,25$
$a_{25} = 1,2 + 6$
$a_{25} = 7,2$

Ответ: 7,2

990. В арифметической прогрессии $(a_n)$ сумма пятого и десятого членов равна -9, а сумма четвёртого и шестого членов равна -4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Пусть ($a_n$) - заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ - ее первый член, а $d$ - ее разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, сумма пятого и десятого членов равна -9. Запишем это в виде уравнения:
$a_5 + a_{10} = -9$
Выразим $a_5$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) = -9$
$2a_1 + 13d = -9$

Также по условию, сумма четвёртого и шестого членов равна -4. Запишем второе уравнение:
$a_4 + a_6 = -4$
Выразим $a_4$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = -4$
$2a_1 + 8d = -4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 13d = -9 \\ 2a_1 + 8d = -4 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $d$:
$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 8d) = -9 - (-4)$
$5d = -5$
$d = -1$
Подставим найденное значение $d$ в любое из уравнений системы, например, во второе, чтобы найти $a_1$:
$2a_1 + 8(-1) = -4$
$2a_1 - 8 = -4$
$2a_1 = 4$
$a_1 = 2$

Мы нашли первый член прогрессии $a_1=2$ и ее разность $d=-1$. Теперь необходимо найти сумму первых десяти членов этой прогрессии, $S_{10}$.
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения $a_1=2$, $d=-1$ и $n=10$:
$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 + (10-1)(-1)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{4 + 9(-1)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{4 - 9}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{-5}{2} \cdot 10$
$S_{10} = -5 \cdot 5$
$S_{10} = -25$

Ответ: -25

991. В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?

Пусть $a_n$ — n-ый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи известно, что третий член прогрессии $a_3 = 150$, а тринадцатый член $a_{13} = 110$.

Для нахождения разности прогрессии $d$ и первого члена $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):

$a_1 + 2d = 150$

$a_1 + 12d = 110$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 12d) - (a_1 + 2d) = 110 - 150$

$10d = -40$

$d = -4$

Теперь подставим найденное значение $d = -4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 2(-4) = 150$

$a_1 - 8 = 150$

$a_1 = 158$

Итак, первый член прогрессии $a_1 = 158$ и её разность $d = -4$.

Далее необходимо найти количество членов $n$, сумма которых равна нулю. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

По условию $S_n = 0$. Подставим в формулу известные значения $a_1$ и $d$:

$\frac{2 \cdot 158 + (n-1)(-4)}{2} \cdot n = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как мы ищем количество членов, то $n$ должно быть натуральным числом, т.е. $n \neq 0$. Следовательно, нулю должен быть равен числитель дроби в скобках:

$2 \cdot 158 + (n-1)(-4) = 0$

$316 - 4(n-1) = 0$

$316 - 4n + 4 = 0$

$320 - 4n = 0$

$4n = 320$

$n = \frac{320}{4}$

$n = 80$

Таким образом, сумма первых 80 членов этой прогрессии равна нулю.

Ответ: 80

992. Последовательность $(x_n)$ – геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $x_1$, если $x_8 = -128$ и $q = -4$;

б) $q$, если $x_1 = 162$ и $x_9 = 2$.

а) Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $x_1$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_n$ – n-й член прогрессии, $x_1$ – первый член, $q$ – знаменатель прогрессии, а $n$ – номер члена.

По условию задачи нам даны $x_8 = -128$ и $q = -4$. Подставим эти значения в формулу для $n=8$:
$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1}$
$-128 = x_1 \cdot (-4)^7$

Вычислим значение $(-4)^7$:
$(-4)^7 = - (4^7) = -16384$.

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
$-128 = x_1 \cdot (-16384)$

Выразим $x_1$ из этого уравнения:
$x_1 = \frac{-128}{-16384} = \frac{128}{16384}$

Сократим дробь, представив числитель и знаменатель как степени двойки: $128 = 2^7$ и $16384 = 2^{14}$.
$x_1 = \frac{2^7}{2^{14}} = 2^{7-14} = 2^{-7} = \frac{1}{128}$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{128}$.

б) Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ снова используем формулу n-го члена: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам даны $x_1 = 162$ и $x_9 = 2$. Подставим эти значения в формулу для $n=9$:
$x_9 = x_1 \cdot q^{9-1}$
$2 = 162 \cdot q^8$

Выразим $q^8$ из этого уравнения:
$q^8 = \frac{2}{162} = \frac{1}{81}$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень восьмой степени из обеих частей уравнения. Так как степень корня (8) является четным числом, то существует два действительных решения: положительное и отрицательное.
$q = \pm\sqrt[8]{\frac{1}{81}}$

Упростим выражение. Так как $81 = 3^4$, получаем:
$q = \pm\sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \left(\frac{1}{3^4}\right)^{1/8} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Ответ: $q = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

993. Найдите пятый член геометрической прогрессии $(b_n)$, если известно, что $b_1 = 6$ и $b_3 = \frac{2}{3}$.

Для нахождения пятого члена геометрической прогрессии ($b_5$) воспользуемся стандартной формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам известны первый и третий члены прогрессии: $b_1 = 6$ и $b_3 = \frac{2}{3}$.

1. Найдём квадрат знаменателя прогрессии ($q^2$).
Используем формулу для третьего члена ($n=3$):
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
Подставим известные значения:
$\frac{2}{3} = 6 \cdot q^2$
Отсюда выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{2/3}{6} = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

2. Найдём пятый член прогрессии ($b_5$).
Используем формулу для пятого члена ($n=5$):
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
Мы можем представить $q^4$ как $(q^2)^2$. Поскольку мы уже знаем, что $q^2 = \frac{1}{9}$, можем подставить это значение:
$b_5 = b_1 \cdot (q^2)^2 = 6 \cdot (\frac{1}{9})^2 = 6 \cdot \frac{1}{81}$
$b_5 = \frac{6}{81}$
Сократим полученную дробь на 3:
$b_5 = \frac{2}{27}$

Также можно было найти $b_5$ через $b_3$, зная, что $b_5 = b_3 \cdot q^2$:
$b_5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{27}$

Ответ: $\frac{2}{27}$

994. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии $(b_n)$, в которой $b_6 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Для того чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии ($S_6$), мы можем использовать формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — число членов, сумму которых мы ищем.

В условии задачи нам даны шестой член прогрессии $b_6 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть $n=6$.

Чтобы применить формулу для $S_6$, нам сначала нужно найти первый член прогрессии, $b_1$. Мы можем сделать это, используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения для шестого члена ($n=6$): $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$ $b_6 = b_1 \cdot q^5$

Теперь подставим числовые значения $b_6 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$ в полученное уравнение: $\frac{1}{2} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$ $\frac{1}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{32}$

Отсюда мы можем выразить и вычислить $b_1$: $b_1 = \frac{1}{2} \div \frac{1}{32} = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$

Теперь у нас есть все необходимые значения для расчета суммы $S_6$: $b_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$ и $n=6$. Подставим их в формулу суммы: $S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{16 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6\right)}{1 - \frac{1}{2}}$

Проведем вычисления поэтапно: Сначала вычислим $q^6$: $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь вычислим числитель и знаменатель основной дроби: Числитель: $16 \cdot \left(1 - \frac{1}{64}\right) = 16 \cdot \left(\frac{64}{64} - \frac{1}{64}\right) = 16 \cdot \frac{63}{64} = \frac{16 \cdot 63}{64} = \frac{63}{4}$ Знаменатель: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем значение $S_6$: $S_6 = \frac{\frac{63}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{4} \cdot 2 = \frac{63 \cdot 2}{4} = \frac{63}{2} = 31,5$

Ответ: $31,5$

995. Пятый член геометрической прогрессии ($b_n$) равен $1\frac{1}{2}$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{2}$. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

По условию задачи, нам дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой пятый член $b_5 = 1\frac{1}{2}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Необходимо найти сумму первых пяти членов этой прогрессии, $S_5$.

Для начала, переведем смешанную дробь в неправильную: $b_5 = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Чтобы найти сумму первых пяти членов, нам нужно сначала определить первый член прогрессии, $b_1$. Мы можем сделать это, используя данные для пятого члена ($n=5$):

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Отсюда выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{b_5}{q^4}$

Подставим известные значения $b_5 = \frac{3}{2}$ и $q = -\frac{1}{2}$:

$b_1 = \frac{\frac{3}{2}}{(-\frac{1}{2})^4} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{16}} = \frac{3}{2} \cdot 16 = 3 \cdot 8 = 24$

Теперь, зная первый член $b_1 = 24$, мы можем вычислить сумму первых пяти членов $S_5$ по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим $n=5$, $b_1=24$ и $q=-\frac{1}{2}$:

$S_5 = \frac{24(1-(-\frac{1}{2})^5)}{1-(-\frac{1}{2})}$

Вычислим значение в знаменателе:

$1-(-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Вычислим значение в скобках в числителе:

$(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$

$1-(-\frac{1}{32}) = 1 + \frac{1}{32} = \frac{33}{32}$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{24 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3}$

Проведем сокращения:

$S_5 = \frac{24 \cdot 33 \cdot 2}{32 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 33 \cdot 2}{32 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 33 \cdot 2}{32} = \frac{16 \cdot 33}{32} = \frac{33}{2}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби или смешанного числа:

$S_5 = \frac{33}{2} = 16.5 = 16\frac{1}{2}$

Ответ: $16\frac{1}{2}$.

996. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если известно, что все члены последовательности положительны и $b_3 = 20$, $b_5 = 80$.

Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии $S_7$ необходимо определить её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этой формулы следует, что любой член прогрессии можно выразить через другой: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Применим это соотношение для известных нам членов $b_5$ и $b_3$: $b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$

Подставим в формулу данные из условия задачи ($b_3 = 20$, $b_5 = 80$): $80 = 20 \cdot q^2$

Решим уравнение относительно $q$: $q^2 = \frac{80}{20} = 4$ $q = 2$ или $q = -2$

Так как по условию все члены последовательности положительны, это означает, что знаменатель прогрессии $q$ также должен быть положительным (иначе знаки членов прогрессии будут чередоваться). Поэтому выбираем $q = 2$.

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, используя формулу для $b_3$: $b_3 = b_1 \cdot q^2$ $20 = b_1 \cdot 2^2$ $20 = b_1 \cdot 4$ $b_1 = \frac{20}{4} = 5$

Зная первый член $b_1 = 5$ и знаменатель $q = 2$, мы можем вычислить сумму первых семи членов прогрессии по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим $n=7$: $S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{5(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{5(128 - 1)}{1} = 5 \cdot 127 = 635$

Ответ: 635.

997. В геометрической прогрессии $(b_n)$, $b_1 + b_2 = 30$, а $b_2 + b_3 = 20$. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению геометрической прогрессии, её члены связаны соотношениями: $b_2 = b_1 \cdot q$ и $b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2$.

По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$b_1 + b_2 = 30$

$b_2 + b_3 = 20$

Подставим выражения для $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$ в эту систему:

$b_1 + b_1q = 30$

$b_1q + b_1q^2 = 20$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$b_1(1 + q) = 30 \quad (1)$

$b_1q(1 + q) = 20 \quad (2)$

Теперь разделим второе уравнение на первое. Заметим, что левая часть первого уравнения не равна нулю, так как правая часть равна 30, поэтому деление возможно и $b_1 \neq 0$, $q \neq -1$.

$\frac{b_1q(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{20}{30}$

Сократив $b_1$ и $(1 + q)$, получаем значение знаменателя прогрессии $q$:

$q = \frac{2}{3}$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение системы:

$b_1(1 + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1(\frac{5}{3}) = 30$

$b_1 = 30 \cdot \frac{3}{5}$

$b_1 = 18$

Мы нашли первый член прогрессии. Теперь найдем второй и третий члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

$b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

Таким образом, первые три члена геометрической прогрессии равны 18, 12 и 8.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:

$b_1 + b_2 = 18 + 12 = 30$ (верно)

$b_2 + b_3 = 12 + 8 = 20$ (верно)

Ответ: Первые три члена прогрессии: 18, 12, 8.

998. В геометрической прогрессии $ (b_n) $, знаменатель которой положителен, $ b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27} $, а $ b_3 \cdot b_4 = 3 $. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.

Пусть $(b_n)$ — данная геометрическая прогрессия, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. По условию, знаменатель положителен, то есть $q > 0$.

Члены геометрической прогрессии связаны формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

$b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27}$

$b_3 \cdot b_4 = 3$

Выразим $b_2, b_3$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

Подставим эти выражения в систему:

$b_1 \cdot (b_1 \cdot q) = b_1^2 q = \frac{1}{27}$ (1)

$(b_1 \cdot q^2) \cdot (b_1 \cdot q^3) = b_1^2 q^5 = 3$ (2)

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{b_1^2 q^5}{b_1^2 q} = \frac{3}{\frac{1}{27}}$

$q^{5-1} = 3 \cdot 27$

$q^4 = 81$

Так как по условию $q > 0$, находим единственный положительный корень:

$q = \sqrt[4]{81} = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив найденное значение $q=3$ в уравнение (1):

$b_1^2 \cdot 3 = \frac{1}{27}$

$b_1^2 = \frac{1}{27 \cdot 3} = \frac{1}{81}$

Из этого уравнения следует, что для $b_1$ есть два возможных значения:

$b_1 = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}$ или $b_1 = -\sqrt{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{9}$

Нам необходимо найти сумму первых четырех членов этой прогрессии, $S_4$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим $n=4$ и $q=3$:

$S_4 = \frac{b_1(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{b_1(81 - 1)}{2} = \frac{b_1 \cdot 80}{2} = 40b_1$

Так как мы получили два возможных значения для $b_1$, существует две возможные прогрессии, удовлетворяющие условию, и, соответственно, две возможные суммы.

1. Если $b_1 = \frac{1}{9}$, то сумма равна:

$S_4 = 40 \cdot \frac{1}{9} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$

2. Если $b_1 = -\frac{1}{9}$, то сумма равна:

$S_4 = 40 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = -\frac{40}{9} = -4\frac{4}{9}$

Оба случая полностью удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $\frac{40}{9}$ или $-\frac{40}{9}$.