Номер 989, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

989. В арифметической прогрессии $(a_n)$ сумма шестого и десятого членов равна 5,9, а разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи мы имеем два утверждения, которые можно записать в виде системы уравнений.

1. Сумма шестого и десятого членов равна 5,9:
$a_6 + a_{10} = 5,9$
Используя формулу n-го члена, выразим $a_6$ и $a_{10}$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 9d) = 5,9$
$2a_1 + 14d = 5,9$

2. Разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2:
$a_{12} - a_4 = 2$
Выразим $a_{12}$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 11d) - (a_1 + 3d) = 2$
$a_1 + 11d - a_1 - 3d = 2$
$8d = 2$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:
$\begin{cases} 2a_1 + 14d = 5,9 \\ 8d = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения легко найти разность прогрессии $d$:
$d = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член $a_1$:
$2a_1 + 14 \cdot (0,25) = 5,9$
$2a_1 + 3,5 = 5,9$
$2a_1 = 5,9 - 3,5$
$2a_1 = 2,4$
$a_1 = \frac{2,4}{2} = 1,2$

Нам необходимо найти двадцать пятый член этой прогрессии, то есть $a_{25}$. Воспользуемся формулой n-го члена, подставив $n=25$, $a_1=1,2$ и $d=0,25$:
$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$
$a_{25} = 1,2 + 24 \cdot 0,25$
$a_{25} = 1,2 + 6$
$a_{25} = 7,2$

Ответ: 7,2