Номер 992, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

992. Последовательность $(x_n)$ – геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $x_1$, если $x_8 = -128$ и $q = -4$;

б) $q$, если $x_1 = 162$ и $x_9 = 2$.

а) Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $x_1$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_n$ – n-й член прогрессии, $x_1$ – первый член, $q$ – знаменатель прогрессии, а $n$ – номер члена.

По условию задачи нам даны $x_8 = -128$ и $q = -4$. Подставим эти значения в формулу для $n=8$:
$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1}$
$-128 = x_1 \cdot (-4)^7$

Вычислим значение $(-4)^7$:
$(-4)^7 = - (4^7) = -16384$.

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
$-128 = x_1 \cdot (-16384)$

Выразим $x_1$ из этого уравнения:
$x_1 = \frac{-128}{-16384} = \frac{128}{16384}$

Сократим дробь, представив числитель и знаменатель как степени двойки: $128 = 2^7$ и $16384 = 2^{14}$.
$x_1 = \frac{2^7}{2^{14}} = 2^{7-14} = 2^{-7} = \frac{1}{128}$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{128}$.

б) Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ снова используем формулу n-го члена: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам даны $x_1 = 162$ и $x_9 = 2$. Подставим эти значения в формулу для $n=9$:
$x_9 = x_1 \cdot q^{9-1}$
$2 = 162 \cdot q^8$

Выразим $q^8$ из этого уравнения:
$q^8 = \frac{2}{162} = \frac{1}{81}$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь корень восьмой степени из обеих частей уравнения. Так как степень корня (8) является четным числом, то существует два действительных решения: положительное и отрицательное.
$q = \pm\sqrt[8]{\frac{1}{81}}$

Упростим выражение. Так как $81 = 3^4$, получаем:
$q = \pm\sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \left(\frac{1}{3^4}\right)^{1/8} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Ответ: $q = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.