Номер 997, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

997. В геометрической прогрессии $(b_n)$, $b_1 + b_2 = 30$, а $b_2 + b_3 = 20$. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению геометрической прогрессии, её члены связаны соотношениями: $b_2 = b_1 \cdot q$ и $b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2$.

По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

$b_1 + b_2 = 30$

$b_2 + b_3 = 20$

Подставим выражения для $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$ в эту систему:

$b_1 + b_1q = 30$

$b_1q + b_1q^2 = 20$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$b_1(1 + q) = 30 \quad (1)$

$b_1q(1 + q) = 20 \quad (2)$

Теперь разделим второе уравнение на первое. Заметим, что левая часть первого уравнения не равна нулю, так как правая часть равна 30, поэтому деление возможно и $b_1 \neq 0$, $q \neq -1$.

$\frac{b_1q(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{20}{30}$

Сократив $b_1$ и $(1 + q)$, получаем значение знаменателя прогрессии $q$:

$q = \frac{2}{3}$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение системы:

$b_1(1 + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1(\frac{5}{3}) = 30$

$b_1 = 30 \cdot \frac{3}{5}$

$b_1 = 18$

Мы нашли первый член прогрессии. Теперь найдем второй и третий члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

$b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

Таким образом, первые три члена геометрической прогрессии равны 18, 12 и 8.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:

$b_1 + b_2 = 18 + 12 = 30$ (верно)

$b_2 + b_3 = 12 + 8 = 20$ (верно)

Ответ: Первые три члена прогрессии: 18, 12, 8.