Номер 1003, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1003. При каких значениях b:

а) значения дроби $\frac{12 - 1,5b}{5}$ меньше соответствующих значений дроби $\frac{11 - 0,5b}{2}$;

б) значения дроби $\frac{1,4 + b}{4}$ больше соответствующих значений дроби $\frac{2,6 + 3b}{2}$;

в) значения дроби $\frac{6b - 1}{b}$ не превосходят значений дроби $\frac{16 - 2b}{9 - b}$?

а) Чтобы найти значения $b$, при которых значения дроби $\frac{12 - 1,5b}{5}$ меньше соответствующих значений дроби $\frac{11 - 0,5b}{2}$, составим и решим неравенство:

$\frac{12 - 1,5b}{5} < \frac{11 - 0,5b}{2}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не меняется.

$10 \cdot \frac{12 - 1,5b}{5} < 10 \cdot \frac{11 - 0,5b}{2}$

$2(12 - 1,5b) < 5(11 - 0,5b)$

Раскроем скобки:

$24 - 3b < 55 - 2,5b$

Сгруппируем слагаемые с переменной $b$ в одной части, а постоянные члены — в другой:

$2,5b - 3b < 55 - 24$

$-0,5b < 31$

Разделим обе части на -0,5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$b > \frac{31}{-0,5}$

$b > -62$

Ответ: $b > -62$.

б) Чтобы найти значения $b$, при которых значения дроби $\frac{1,4 + b}{4}$ больше соответствующих значений дроби $\frac{2,6 + 3b}{2}$, составим и решим неравенство:

$\frac{1,4 + b}{4} > \frac{2,6 + 3b}{2}$

Умножим обе части на 4. Знак неравенства не изменится.

$4 \cdot \frac{1,4 + b}{4} > 4 \cdot \frac{2,6 + 3b}{2}$

$1,4 + b > 2(2,6 + 3b)$

Раскроем скобки:

$1,4 + b > 5,2 + 6b$

Сгруппируем слагаемые:

$b - 6b > 5,2 - 1,4$

$-5b > 3,8$

Разделим обе части на -5, меняя знак неравенства:

$b < \frac{3,8}{-5}$

$b < -0,76$

Ответ: $b < -0,76$.

в) Условие "не превосходят" означает "меньше или равно" ($\le$). Составим неравенство:

$\frac{6b - 1}{b} \le \frac{16 - 2b}{9 - b}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $b \ne 0$ и $9 - b \ne 0$, откуда $b \ne 9$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{6b - 1}{b} - \frac{16 - 2b}{9 - b} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(9 - b)$:

$\frac{(6b - 1)(9 - b) - b(16 - 2b)}{b(9 - b)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{54b - 6b^2 - 9 + b - 16b + 2b^2}{b(9 - b)} \le 0$

$\frac{-4b^2 + 39b - 9}{b(9 - b)} \le 0$

Для удобства решения методом интервалов преобразуем дробь так, чтобы старшие коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе были положительными. Умножим числитель на -1 и знаменатель на -1 (значение дроби при этом не изменится):

$\frac{-(-4b^2 + 39b - 9)}{-b(9 - b)} \le 0 \Rightarrow \frac{4b^2 - 39b - 9}{b(b - 9)} \le 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: $4b^2 - 39b + 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-39)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1521 - 144 = 1377$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1377} = \sqrt{81 \cdot 17} = 9\sqrt{17}$.
Корни уравнения: $b_{1,2} = \frac{39 \pm 9\sqrt{17}}{8}$.
$b_1 = \frac{39 - 9\sqrt{17}}{8}$, $b_2 = \frac{39 + 9\sqrt{17}}{8}$.
Эти значения $b$ обращают числитель в ноль, поэтому они входят в решение (неравенство нестрогое).

2. Корни знаменателя: $b(b-9) = 0 \Rightarrow b = 0, b = 9$.
Эти значения $b$ не входят в ОДЗ, поэтому они не будут входить в решение (выколотые точки).

Расположим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания. Оценим значения корней: $\sqrt{17} \approx 4,12$, значит $b_1 \approx \frac{39 - 9 \cdot 4,12}{8} \approx \frac{1,92}{8} = 0,24$ и $b_2 \approx \frac{39 + 37,08}{8} \approx 9,51$.
Порядок корней: $0 < b_1 < 9 < b_2$.

Определим знаки выражения $\frac{4b^2 - 39b + 9}{b(b - 9)}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, b_1)$, $(b_1, 9)$, $(9, b_2)$, $(b_2, \infty)$.
Парабола $y=4b^2-39b+9$ ветвями вверх, она отрицательна между корнями $b_1$ и $b_2$.
Парабола $y=b(b-9)$ ветвями вверх, она отрицательна между корнями $0$ и $9$.

• Интервал $(0, b_1)$: числитель положителен, знаменатель отрицателен. Дробь отрицательна.
• Интервал $(9, b_2)$: числитель отрицателен, знаменатель положителен. Дробь отрицательна.

Нас интересуют промежутки, где дробь меньше или равна нулю. Это интервалы $(0, b_1]$ и $(9, b_2]$.

Ответ: $b \in (0, \frac{39 - 9\sqrt{17}}{8}] \cup (9, \frac{39 + 9\sqrt{17}}{8}]$.