Номер 1007, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1007. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases}2x - 3(x + 1) < x + 8, \\6x(x - 1) - (2x + 2)(3x - 3) > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}10(x - 1) - 5(x + 1) > 4x - 11, \\x^2 - (x + 2)(x - 2) < 3x;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x - \frac{4x - 1}{3} < 10, \\4x - 1 - \frac{x}{3} < 10;\end{cases}$

г) $\begin{cases}3y - \frac{2y + 1}{2} > 4 - \frac{2 - y}{3} - y, \\\frac{5y - 1}{3} - (y - 1) > 3y.\end{cases}$

а) Решим систему неравенств $\begin{cases} 2x - 3(x + 1) < x + 8 \\ 6x(x - 1) - (2x + 2)(3x - 3) > 0 \end{cases}$.
Сначала решим первое неравенство:
$2x - 3(x + 1) < x + 8$
$2x - 3x - 3 < x + 8$
$-x - 3 < x + 8$
$-x - x < 8 + 3$
$-2x < 11$
Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x > -\frac{11}{2}$
$x > -5.5$
Теперь решим второе неравенство:
$6x(x - 1) - (2x + 2)(3x - 3) > 0$
Разложим на множители выражения в скобках: $2x+2 = 2(x+1)$ и $3x-3 = 3(x-1)$.
$6x(x - 1) - 2(x + 1) \cdot 3(x - 1) > 0$
$6x(x - 1) - 6(x + 1)(x - 1) > 0$
Вынесем общий множитель $6(x-1)$ за скобки:
$6(x - 1)(x - (x + 1)) > 0$
$6(x - 1)(x - x - 1) > 0$
$6(x - 1)(-1) > 0$
$-6(x - 1) > 0$
Разделим обе части на -6 и изменим знак неравенства:
$x - 1 < 0$
$x < 1$
Решением системы является пересечение полученных решений: $x > -5.5$ и $x < 1$.
Ответ: $x \in (-5.5; 1)$.

б) Решим систему неравенств $\begin{cases} 10(x - 1) - 5(x + 1) > 4x - 11 \\ x^2 - (x + 2)(x - 2) < 3x \end{cases}$.
Решим первое неравенство:
$10(x - 1) - 5(x + 1) > 4x - 11$
$10x - 10 - 5x - 5 > 4x - 11$
$5x - 15 > 4x - 11$
$5x - 4x > -11 + 15$
$x > 4$
Решим второе неравенство, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$x^2 - (x^2 - 2^2) < 3x$
$x^2 - (x^2 - 4) < 3x$
$x^2 - x^2 + 4 < 3x$
$4 < 3x$
$x > \frac{4}{3}$
Решением системы является пересечение решений $x > 4$ и $x > \frac{4}{3}$. Так как любое число, большее 4, также больше $\frac{4}{3}$, то общим решением будет $x > 4$.
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

в) Решим систему неравенств $\begin{cases} x - \frac{4x - 1}{3} < 10 \\ 4x - 1 - \frac{x}{3} < 10 \end{cases}$.
Решим первое неравенство. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3x - (4x - 1) < 3 \cdot 10$
$3x - 4x + 1 < 30$
$-x < 29$
$x > -29$
Решим второе неравенство. Также умножим обе части на 3:
$3(4x - 1) - x < 3 \cdot 10$
$12x - 3 - x < 30$
$11x < 33$
$x < 3$
Решением системы является пересечение решений $x > -29$ и $x < 3$.
Ответ: $x \in (-29; 3)$.

г) Решим систему неравенств $\begin{cases} 3y - \frac{2y + 1}{2} > 4 - \frac{2 - y}{3} - y \\ \frac{5y - 1}{3} - (y - 1) > 3y \end{cases}$.
Решим первое неравенство. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$6 \cdot 3y - 6 \cdot \frac{2y + 1}{2} > 6 \cdot 4 - 6 \cdot \frac{2 - y}{3} - 6 \cdot y$
$18y - 3(2y + 1) > 24 - 2(2 - y) - 6y$
$18y - 6y - 3 > 24 - 4 + 2y - 6y$
$12y - 3 > 20 - 4y$
$12y + 4y > 20 + 3$
$16y > 23$
$y > \frac{23}{16}$
Решим второе неравенство. Умножим обе части на 3:
$5y - 1 - 3(y - 1) > 3 \cdot 3y$
$5y - 1 - 3y + 3 > 9y$
$2y + 2 > 9y$
$2 > 9y - 2y$
$2 > 7y$
$y < \frac{2}{7}$
Теперь найдем пересечение решений $y > \frac{23}{16}$ и $y < \frac{2}{7}$.
Сравним дроби: $\frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$ и $\frac{2}{7}$. Очевидно, что $1\frac{7}{16} > \frac{2}{7}$.
Не существует такого значения $y$, которое было бы одновременно больше $\frac{23}{16}$ и меньше $\frac{2}{7}$. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.