Номер 1009, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1009. Решите двойное неравенство:

а) $-5 < \frac{4m - 3}{3} < 7;$

б) $3 \le \frac{1 - 2x}{5} \le 11;$

в) $-11 < \frac{2 - 3p}{2} \le -8;$

г) $-0,2 \le \frac{5x + 2}{4} \le 2.$

а)

Дано двойное неравенство: $-5 < \frac{4m - 3}{3} < 7$.

Для решения этого неравенства необходимо выполнить тождественные преобразования со всеми его частями, чтобы изолировать переменную $m$ в средней части.

1. Умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$-5 \cdot 3 < \frac{4m - 3}{3} \cdot 3 < 7 \cdot 3$

$-15 < 4m - 3 < 21$

2. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-15 + 3 < 4m - 3 + 3 < 21 + 3$

$-12 < 4m < 24$

3. Разделим все части неравенства на 4 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$\frac{-12}{4} < \frac{4m}{4} < \frac{24}{4}$

$-3 < m < 6$

Решением является интервал, не включающий концы.

Ответ: $(-3; 6)$.

б)

Дано двойное неравенство: $3 \le \frac{1 - 2x}{5} \le 11$.

1. Умножим все части неравенства на 5:

$3 \cdot 5 \le (1 - 2x) \le 11 \cdot 5$

$15 \le 1 - 2x \le 55$

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$15 - 1 \le 1 - 2x - 1 \le 55 - 1$

$14 \le -2x \le 54$

3. Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{14}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{54}{-2}$

$-7 \ge x \ge -27$

4. Запишем полученное решение в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-27 \le x \le -7$

Решением является числовой отрезок, включающий концы.

Ответ: $[-27; -7]$.

в)

Дано двойное неравенство: $-11 < \frac{2 - 3p}{2} \le -8$.

1. Умножим все части на 2:

$-11 \cdot 2 < (2 - 3p) \le -8 \cdot 2$

$-22 < 2 - 3p \le -16$

2. Вычтем 2 из всех частей:

$-22 - 2 < -3p \le -16 - 2$

$-24 < -3p \le -18$

3. Разделим все части на -3 и поменяем знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-24}{-3} > p \ge \frac{-18}{-3}$

$8 > p \ge 6$

4. Запишем в стандартном виде:

$6 \le p < 8$

Решением является полуинтервал.

Ответ: $[6; 8)$.

г)

Дано двойное неравенство: $-0,2 \le \frac{5x + 2}{4} \le 2$.

1. Умножим все части на 4:

$-0,2 \cdot 4 \le (5x + 2) \le 2 \cdot 4$

$-0,8 \le 5x + 2 \le 8$

2. Вычтем 2 из всех частей:

$-0,8 - 2 \le 5x \le 8 - 2$

$-2,8 \le 5x \le 6$

3. Разделим все части на 5:

$\frac{-2,8}{5} \le x \le \frac{6}{5}$

$-0,56 \le x \le 1,2$

Решением является числовой отрезок, включающий концы.

Ответ: $[-0,56; 1,2]$.