Страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1005. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 5x - 2 > 2x + 1, \\ 2x + 3 < 18 - 3x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4y + 5 > y + 17, \\ y - 1 > 2y - 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 12y - 1 < 3 - 2y, \\ 5y < 2 - 11y; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 8x + 1 > 5x - 1, \\ 9x + 9 < 8x + 8. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 5x - 2 > 2x + 1 \\ 2x + 3 < 18 - 3x \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:

$5x - 2 > 2x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$5x - 2x > 1 + 2$

$3x > 3$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 > 0):

$x > 1$

Теперь решим второе неравенство:

$2x + 3 < 18 - 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$2x + 3x < 18 - 3$

$5x < 15$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$x < 3$

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение множеств решений каждого неравенства, то есть интервал, где $x$ одновременно больше 1 и меньше 3. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

б)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 4y + 5 > y + 17 \\ y - 1 > 2y - 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$4y + 5 > y + 17$

$4y - y > 17 - 5$

$3y > 12$

$y > 4$

Решим второе неравенство:

$y - 1 > 2y - 3$

$3 - 1 > 2y - y$

$2 > y$, что эквивалентно $y < 2$

Мы получили систему:

$\begin{cases} y > 4 \\ y < 2 \end{cases}$

Не существует числа, которое было бы одновременно больше 4 и меньше 2. Следовательно, пересечение множеств решений этих двух неравенств пусто.

Ответ: решений нет.

в)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 12y - 1 < 3 - 2y \\ 5y < 2 - 11y \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$12y - 1 < 3 - 2y$

$12y + 2y < 3 + 1$

$14y < 4$

$y < \frac{4}{14}$

$y < \frac{2}{7}$

Решим второе неравенство:

$5y < 2 - 11y$

$5y + 11y < 2$

$16y < 2$

$y < \frac{2}{16}$

$y < \frac{1}{8}$

Мы получили систему:

$\begin{cases} y < \frac{2}{7} \\ y < \frac{1}{8} \end{cases}$

Чтобы найти пересечение этих двух решений, сравним дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{8}$. Приведем их к общему знаменателю 56:

$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{16}{56}$

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{7}{56}$

Так как $\frac{7}{56} < \frac{16}{56}$, то $\frac{1}{8} < \frac{2}{7}$.

Решением системы является множество чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Если число меньше $\frac{1}{8}$, то оно автоматически будет меньше и $\frac{2}{7}$. Следовательно, решением системы является неравенство $y < \frac{1}{8}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{8})$.

г)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 8x + 1 > 5x - 1 \\ 9x + 9 < 8x + 8 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$8x + 1 > 5x - 1$

$8x - 5x > -1 - 1$

$3x > -2$

$x > -\frac{2}{3}$

Решим второе неравенство:

$9x + 9 < 8x + 8$

$9x - 8x < 8 - 9$

$x < -1$

Мы получили систему:

$\begin{cases} x > -\frac{2}{3} \\ x < -1 \end{cases}$

Так как $-\frac{2}{3}$ (приблизительно -0.67) больше, чем $-1$, не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше $-\frac{2}{3}$ и меньше $-1$. Пересечение множеств решений этих двух неравенств является пустым множеством.

Ответ: решений нет.

1006. Решите систему трёх неравенств:

a) $ \begin{cases} 2x + 5 > 3x - 1, \\ \frac{x}{3} > -1, \\ 10x < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 6x > x - 10, \\ 2x - 4 < 0, \\ 2x + 1 > x + 4. \end{cases} $

Для решения системы необходимо решить каждое из трех неравенств по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $2x + 5 > 3x - 1$.
Переносим члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$5 + 1 > 3x - 2x$
$6 > x$
Таким образом, $x < 6$. Решение этого неравенства — интервал $(-\infty; 6)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x}{3} > -1$.
Умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x > -3$
Решение этого неравенства — интервал $(-3; +\infty)$.

3. Решим третье неравенство: $10x < 0$.
Разделим обе части неравенства на 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x < 0$
Решение этого неравенства — интервал $(-\infty; 0)$.

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение интервалов $(-\infty; 6)$, $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$.
Для этого нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $x < 6$, $x > -3$ и $x < 0$.
На числовой прямой это будет область, где все три интервала пересекаются. Это интервал от -3 до 0, не включая концы.
Запишем это в виде двойного неравенства: $-3 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.

Для решения системы необходимо решить каждое из трех неравенств по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $6x > x - 10$.
$6x - x > -10$
$5x > -10$
$x > -2$
Решение этого неравенства — интервал $(-2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 4 < 0$.
$2x < 4$
$x < 2$
Решение этого неравенства — интервал $(-\infty; 2)$.

3. Решим третье неравенство: $2x + 1 > x + 4$.
$2x - x > 4 - 1$
$x > 3$
Решение этого неравенства — интервал $(3; +\infty)$.

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение интервалов $(-2; +\infty)$, $(-\infty; 2)$ и $(3; +\infty)$.
Ищем значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $x > -2$, $x < 2$ и $x > 3$.
Пересечение первых двух условий дает интервал $(-2; 2)$.
Теперь нужно найти пересечение этого результата с третьим условием: $(-2; 2) \cap (3; +\infty)$.
Не существует чисел, которые одновременно находятся в интервале от -2 до 2 и в то же время больше 3. Следовательно, пересечение этих множеств пустое.

Ответ: решений нет.

1007. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases}2x - 3(x + 1) < x + 8, \\6x(x - 1) - (2x + 2)(3x - 3) > 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}10(x - 1) - 5(x + 1) > 4x - 11, \\x^2 - (x + 2)(x - 2) < 3x;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x - \frac{4x - 1}{3} < 10, \\4x - 1 - \frac{x}{3} < 10;\end{cases}$

г) $\begin{cases}3y - \frac{2y + 1}{2} > 4 - \frac{2 - y}{3} - y, \\\frac{5y - 1}{3} - (y - 1) > 3y.\end{cases}$

а) Решим систему неравенств $\begin{cases} 2x - 3(x + 1) < x + 8 \\ 6x(x - 1) - (2x + 2)(3x - 3) > 0 \end{cases}$.
Сначала решим первое неравенство:
$2x - 3(x + 1) < x + 8$
$2x - 3x - 3 < x + 8$
$-x - 3 < x + 8$
$-x - x < 8 + 3$
$-2x < 11$
Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x > -\frac{11}{2}$
$x > -5.5$
Теперь решим второе неравенство:
$6x(x - 1) - (2x + 2)(3x - 3) > 0$
Разложим на множители выражения в скобках: $2x+2 = 2(x+1)$ и $3x-3 = 3(x-1)$.
$6x(x - 1) - 2(x + 1) \cdot 3(x - 1) > 0$
$6x(x - 1) - 6(x + 1)(x - 1) > 0$
Вынесем общий множитель $6(x-1)$ за скобки:
$6(x - 1)(x - (x + 1)) > 0$
$6(x - 1)(x - x - 1) > 0$
$6(x - 1)(-1) > 0$
$-6(x - 1) > 0$
Разделим обе части на -6 и изменим знак неравенства:
$x - 1 < 0$
$x < 1$
Решением системы является пересечение полученных решений: $x > -5.5$ и $x < 1$.
Ответ: $x \in (-5.5; 1)$.

б) Решим систему неравенств $\begin{cases} 10(x - 1) - 5(x + 1) > 4x - 11 \\ x^2 - (x + 2)(x - 2) < 3x \end{cases}$.
Решим первое неравенство:
$10(x - 1) - 5(x + 1) > 4x - 11$
$10x - 10 - 5x - 5 > 4x - 11$
$5x - 15 > 4x - 11$
$5x - 4x > -11 + 15$
$x > 4$
Решим второе неравенство, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$x^2 - (x^2 - 2^2) < 3x$
$x^2 - (x^2 - 4) < 3x$
$x^2 - x^2 + 4 < 3x$
$4 < 3x$
$x > \frac{4}{3}$
Решением системы является пересечение решений $x > 4$ и $x > \frac{4}{3}$. Так как любое число, большее 4, также больше $\frac{4}{3}$, то общим решением будет $x > 4$.
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

в) Решим систему неравенств $\begin{cases} x - \frac{4x - 1}{3} < 10 \\ 4x - 1 - \frac{x}{3} < 10 \end{cases}$.
Решим первое неравенство. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3x - (4x - 1) < 3 \cdot 10$
$3x - 4x + 1 < 30$
$-x < 29$
$x > -29$
Решим второе неравенство. Также умножим обе части на 3:
$3(4x - 1) - x < 3 \cdot 10$
$12x - 3 - x < 30$
$11x < 33$
$x < 3$
Решением системы является пересечение решений $x > -29$ и $x < 3$.
Ответ: $x \in (-29; 3)$.

г) Решим систему неравенств $\begin{cases} 3y - \frac{2y + 1}{2} > 4 - \frac{2 - y}{3} - y \\ \frac{5y - 1}{3} - (y - 1) > 3y \end{cases}$.
Решим первое неравенство. Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):
$6 \cdot 3y - 6 \cdot \frac{2y + 1}{2} > 6 \cdot 4 - 6 \cdot \frac{2 - y}{3} - 6 \cdot y$
$18y - 3(2y + 1) > 24 - 2(2 - y) - 6y$
$18y - 6y - 3 > 24 - 4 + 2y - 6y$
$12y - 3 > 20 - 4y$
$12y + 4y > 20 + 3$
$16y > 23$
$y > \frac{23}{16}$
Решим второе неравенство. Умножим обе части на 3:
$5y - 1 - 3(y - 1) > 3 \cdot 3y$
$5y - 1 - 3y + 3 > 9y$
$2y + 2 > 9y$
$2 > 9y - 2y$
$2 > 7y$
$y < \frac{2}{7}$
Теперь найдем пересечение решений $y > \frac{23}{16}$ и $y < \frac{2}{7}$.
Сравним дроби: $\frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$ и $\frac{2}{7}$. Очевидно, что $1\frac{7}{16} > \frac{2}{7}$.
Не существует такого значения $y$, которое было бы одновременно больше $\frac{23}{16}$ и меньше $\frac{2}{7}$. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

1008. Найдите целые решения системы неравенств:

а) $\begin{cases} (3x + 2)^2 \ge (3x - 1)(3x + 1) - 31, \\ (2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)^2 - 14; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (5x - 2)^2 + 36 > 5x(5x - 3), \\ 3x(4x + 2) + 40 \le 4x(3x + 7) - 4. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} (3x + 2)^2 \ge (3x - 1)(3x + 1) - 31 \\ (2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)^2 - 14 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство. Для этого раскроем скобки в обеих частях, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и разность квадратов):

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \ge (3x)^2 - 1^2 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 1 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 32$

Теперь перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$12x \ge -32 - 4$

$12x \ge -36$

Разделим обе части неравенства на 12:

$x \ge -3$

Теперь решим второе неравенство. Раскроем скобки:

$2x \cdot 8x + 2x \cdot 5 - 3 \cdot 8x - 3 \cdot 5 < (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 - 14$

$16x^2 + 10x - 24x - 15 < 16x^2 - 24x + 9 - 14$

$16x^2 - 14x - 15 < 16x^2 - 24x - 5$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ также взаимно уничтожаются:

$-14x + 24x < -5 + 15$

$10x < 10$

Разделим обе части на 10:

$x < 1$

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x \ge -3 \\ x < 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[-3; 1)$.

Требуется найти целые решения, которые принадлежат этому промежутку. Это числа -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} (5x - 2)^2 + 36 > 5x(5x - 3) \\ 3x(4x + 2) + 40 \le 4x(3x + 7) - 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Раскроем скобки:

$(25x^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 4) + 36 > 25x^2 - 15x$

$25x^2 - 20x + 40 > 25x^2 - 15x$

Приведем подобные слагаемые, члены с $x^2$ взаимно уничтожатся:

$40 > -15x + 20x$

$40 > 5x$

Разделим обе части на 5:

$8 > x$, что эквивалентно $x < 8$.

Теперь решим второе неравенство. Раскроем скобки:

$12x^2 + 6x + 40 \le 12x^2 + 28x - 4$

Приведем подобные слагаемые, члены с $x^2$ взаимно уничтожатся:

$40 + 4 \le 28x - 6x$

$44 \le 22x$

Разделим обе части на 22:

$2 \le x$, что эквивалентно $x \ge 2$.

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x < 8 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[2; 8)$.

Требуется найти целые решения, которые принадлежат этому промежутку. Это числа 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

1009. Решите двойное неравенство:

а) $-5 < \frac{4m - 3}{3} < 7;$

б) $3 \le \frac{1 - 2x}{5} \le 11;$

в) $-11 < \frac{2 - 3p}{2} \le -8;$

г) $-0,2 \le \frac{5x + 2}{4} \le 2.$

а)

Дано двойное неравенство: $-5 < \frac{4m - 3}{3} < 7$.

Для решения этого неравенства необходимо выполнить тождественные преобразования со всеми его частями, чтобы изолировать переменную $m$ в средней части.

1. Умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$-5 \cdot 3 < \frac{4m - 3}{3} \cdot 3 < 7 \cdot 3$

$-15 < 4m - 3 < 21$

2. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-15 + 3 < 4m - 3 + 3 < 21 + 3$

$-12 < 4m < 24$

3. Разделим все части неравенства на 4 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$\frac{-12}{4} < \frac{4m}{4} < \frac{24}{4}$

$-3 < m < 6$

Решением является интервал, не включающий концы.

Ответ: $(-3; 6)$.

б)

Дано двойное неравенство: $3 \le \frac{1 - 2x}{5} \le 11$.

1. Умножим все части неравенства на 5:

$3 \cdot 5 \le (1 - 2x) \le 11 \cdot 5$

$15 \le 1 - 2x \le 55$

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$15 - 1 \le 1 - 2x - 1 \le 55 - 1$

$14 \le -2x \le 54$

3. Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{14}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{54}{-2}$

$-7 \ge x \ge -27$

4. Запишем полученное решение в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-27 \le x \le -7$

Решением является числовой отрезок, включающий концы.

Ответ: $[-27; -7]$.

в)

Дано двойное неравенство: $-11 < \frac{2 - 3p}{2} \le -8$.

1. Умножим все части на 2:

$-11 \cdot 2 < (2 - 3p) \le -8 \cdot 2$

$-22 < 2 - 3p \le -16$

2. Вычтем 2 из всех частей:

$-22 - 2 < -3p \le -16 - 2$

$-24 < -3p \le -18$

3. Разделим все части на -3 и поменяем знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-24}{-3} > p \ge \frac{-18}{-3}$

$8 > p \ge 6$

4. Запишем в стандартном виде:

$6 \le p < 8$

Решением является полуинтервал.

Ответ: $[6; 8)$.

г)

Дано двойное неравенство: $-0,2 \le \frac{5x + 2}{4} \le 2$.

1. Умножим все части на 4:

$-0,2 \cdot 4 \le (5x + 2) \le 2 \cdot 4$

$-0,8 \le 5x + 2 \le 8$

2. Вычтем 2 из всех частей:

$-0,8 - 2 \le 5x \le 8 - 2$

$-2,8 \le 5x \le 6$

3. Разделим все части на 5:

$\frac{-2,8}{5} \le x \le \frac{6}{5}$

$-0,56 \le x \le 1,2$

Решением является числовой отрезок, включающий концы.

Ответ: $[-0,56; 1,2]$.

1010. При каких значениях переменной x:

a) значения двучлена $0,5 - 0,2x$ принадлежат промежутку $ \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$;

б) значения дроби $\frac{20x + 40}{3}$ принадлежат промежутку $[-100; 100]$?

а)

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения двучлена $0,5 - 0,2x$ принадлежат промежутку $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, необходимо решить двойное неравенство. Условие можно записать в виде:

$-\frac{1}{2} \le 0,5 - 0,2x \le \frac{1}{2}$

Сначала представим дроби в виде десятичных чисел, чтобы упростить вычисления: $-\frac{1}{2} = -0,5$ и $\frac{1}{2} = 0,5$.

Неравенство принимает вид:

$-0,5 \le 0,5 - 0,2x \le 0,5$

Вычтем $0,5$ из всех трех частей неравенства:

$-0,5 - 0,5 \le (0,5 - 0,2x) - 0,5 \le 0,5 - 0,5$

$-1 \le -0,2x \le 0$

Теперь разделим все части неравенства на $-0,2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-1}{-0,2} \ge \frac{-0,2x}{-0,2} \ge \frac{0}{-0,2}$

$5 \ge x \ge 0$

Для удобства восприятия запишем это неравенство в стандартном порядке, от меньшего числа к большему:

$0 \le x \le 5$

Это соответствует промежутку $[0; 5]$.

Ответ: $x \in [0; 5]$.

б)

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения дроби $\frac{20x + 40}{3}$ принадлежат промежутку $[-100; 100]$, нужно решить следующее двойное неравенство:

$-100 \le \frac{20x + 40}{3} \le 100$

Умножим все части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:

$-100 \cdot 3 \le (\frac{20x + 40}{3}) \cdot 3 \le 100 \cdot 3$

$-300 \le 20x + 40 \le 300$

Теперь вычтем 40 из всех частей неравенства:

$-300 - 40 \le 20x + 40 - 40 \le 300 - 40$

$-340 \le 20x \le 260$

Наконец, разделим все части неравенства на 20. Так как 20 является положительным числом, знаки неравенства также сохраняются:

$\frac{-340}{20} \le \frac{20x}{20} \le \frac{260}{20}$

$-17 \le x \le 13$

Это соответствует промежутку $[-17; 13]$.

Ответ: $x \in [-17; 13]$.