Страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1018. Функция $y = f(x)$, областью определения которой является промежуток $[-4; 5]$, задана графиком (рис. 86). Какова область значений функции? Найдите $f(-3)$, $f(-1,5)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(3,5)$. Найдите координаты точек, в которых график функции пересекает оси координат.

Рис. 86

Рис. 87

Какова область значений функции?

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная y. Чтобы найти ее по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на всей области определения. Из графика (рис. 86) видно, что наименьшее значение функции равно -2 (достигается при $x = -4$ и $x = 3$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $x = 0$). Поскольку функция непрерывна на своей области определения, она принимает все значения между -2 и 3 включительно.

Ответ: Область значений функции — промежуток $[-2; 3]$.

Найдите $f(-3)$, $f(-1,5)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(3,5)$.

Для нахождения значений функции по графику, для каждого заданного значения аргумента $x$ находим соответствующее значение ординаты $y$ на графике.

При $x = -3$, находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна -1. Значит, $f(-3) = -1$.

При $x = -1,5$, ордината соответствующей точки равна 2. Значит, $f(-1,5) = 2$.

При $x = -1$, ордината соответствующей точки равна 2,5. Значит, $f(-1) = 2,5$.

При $x = 1$, ордината соответствующей точки равна 2. Значит, $f(1) = 2$.

При $x = 3,5$, ордината соответствующей точки равна -1. Значит, $f(3,5) = -1$.

Ответ: $f(-3) = -1$; $f(-1,5) = 2$; $f(-1) = 2,5$; $f(1) = 2$; $f(3,5) = -1$.

Найдите координаты точек, в которых график функции пересекает оси координат.

Точка пересечения графика с осью ординат ($Oy$) — это точка, абсцисса которой равна нулю ($x = 0$). По графику находим, что при $x = 0$ значение функции $y = 3$. Следовательно, координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; 3)$.

Точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$) — это точки, ордината которых равна нулю ($y = 0$). Эти точки также называют нулями функции. По графику видно, что $y=0$ при трех значениях $x$: $x = -2,5$, $x = 2$ и $x = 4$. Следовательно, координаты точек пересечения с осью $Ox$ равны $(-2,5; 0)$, $(2; 0)$ и $(4; 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; 3)$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2,5; 0)$, $(2; 0)$, $(4; 0)$.

ось координат.

Рис. 86

Рис. 87

1019. Найдите по графику функции $y = f(x)$ (см. рис. 86) значения аргумента, при которых:

а) $f(x) = 0$;

б) $f(x) > 0$;

в) $f(x) < 0$.

а) Требуется найти значения аргумента $x$, при которых выполняется равенство $f(x) = 0$. Такие значения $x$ называются нулями функции. На графике это абсциссы точек, в которых график функции пересекает ось $Ox$.

Из графика на рисунке 86 видно, что он пересекает ось абсцисс в трех точках. Абсциссы этих точек равны $-2$, $2$ и $4$.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x = -2; 2; 4$.

б) Требуется найти значения аргумента $x$, при которых выполняется неравенство $f(x) > 0$. Это соответствует промежуткам, на которых график функции расположен выше оси $Ox$.

По графику видно, что функция принимает положительные значения на интервале от $-2$ до $2$, а также для всех значений $x$ больше $4$. Объединяя эти промежутки, получаем искомое множество.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-2; 2) \cup (4; +∞)$.

в) Требуется найти значения аргумента $x$, при которых выполняется неравенство $f(x) < 0$. Это соответствует промежуткам, на которых график функции расположен ниже оси $Ox$.

Анализируя график, мы видим, что функция принимает отрицательные значения при $x$ меньших $-2$, а также на интервале от $2$ до $4$. Объединяя эти промежутки, получаем решение.

Ответ: $f(x) < 0$ при $x \in (-∞; -2) \cup (2; 4)$.

1020. Ломаная ABCDE является графиком функции $y = f(x)$ (рис. 87). В каких промежутках эта функция принимает положительные значения и в каких — отрицательные?

Рис. 87

Для определения промежутков, в которых функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо найти точки, где график функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс (Ox). В этих точках, называемых нулями функции, значение функции равно нулю ($y = 0$).

Из графика видно, что функция определена на отрезке $x \in [-3.5, 4]$.

Сначала определим координаты вершин ломаной линии по графику:

Точка A: $(-3.5, 2)$
Точка B: $(-1.5, -3)$
Точка C: $(1, 1)$
Точка D: $(2.5, -2)$
Точка E: $(4, 3)$

Теперь найдем нули функции, составив и решив уравнение прямой для каждого отрезка ломаной, на котором происходит пересечение с осью Ox.

1. Отрезок AB. Уравнение прямой, проходящей через точки $A(-3.5, 2)$ и $B(-1.5, -3)$:
$\frac{y - y_A}{x - x_A} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \implies \frac{y - 2}{x + 3.5} = \frac{-3 - 2}{-1.5 - (-3.5)} = \frac{-5}{2} = -2.5$.
Найдем точку пересечения с осью Ox, подставив $y = 0$:
$\frac{-2}{x + 3.5} = -2.5 \implies -2 = -2.5(x + 3.5) \implies -2 = -2.5x - 8.75 \implies 2.5x = -6.75 \implies x = -2.7$.

2. Отрезок BC. Уравнение прямой, проходящей через точки $B(-1.5, -3)$ и $C(1, 1)$:
$\frac{y - y_C}{x - x_C} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} \implies \frac{y - 1}{x - 1} = \frac{1 - (-3)}{1 - (-1.5)} = \frac{4}{2.5} = 1.6$.
При $y = 0$: $\frac{-1}{x - 1} = 1.6 \implies -1 = 1.6x - 1.6 \implies 1.6x = 0.6 \implies x = \frac{0.6}{1.6} = \frac{3}{8} = 0.375$.

3. Отрезок CD. Уравнение прямой, проходящей через точки $C(1, 1)$ и $D(2.5, -2)$:
$\frac{y - y_C}{x - x_C} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} \implies \frac{y - 1}{x - 1} = \frac{-2 - 1}{2.5 - 1} = \frac{-3}{1.5} = -2$.
При $y = 0$: $\frac{-1}{x - 1} = -2 \implies -1 = -2(x - 1) \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$.

4. Отрезок DE. Уравнение прямой, проходящей через точки $D(2.5, -2)$ и $E(4, 3)$:
$\frac{y - y_E}{x - x_E} = \frac{y_E - y_D}{x_E - x_D} \implies \frac{y - 3}{x - 4} = \frac{3 - (-2)}{4 - 2.5} = \frac{5}{1.5} = \frac{10}{3}$.
При $y = 0$: $\frac{-3}{x - 4} = \frac{10}{3} \implies -9 = 10(x - 4) \implies -9 = 10x - 40 \implies 10x = 31 \implies x = 3.1$.

Нули функции: $x_1 = -2.7$, $x_2 = 0.375$, $x_3 = 1.5$, $x_4 = 3.1$.

Промежутки, в которых функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Анализируя график и найденные нули, определяем следующие промежутки:

- от точки $A$, где $x=-3.5$, до первого нуля $x=-2.7$. Так как в точке $x=-3.5$ значение $y=2>0$, этот промежуток $x \in [-3.5, -2.7)$.
- между вторым ($x=0.375$) и третьим ($x=1.5$) нулями функции. Промежуток $x \in (0.375, 1.5)$.
- от четвертого нуля $x=3.1$ до точки $E$, где $x=4$. Так как в точке $x=4$ значение $y=3>0$, этот промежуток $x \in (3.1, 4]$.
Объединяем эти промежутки.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in [-3.5, -2.7) \cup (0.375, 1.5) \cup (3.1, 4]$.

Промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на следующих промежутках:

- между первым ($x=-2.7$) и вторым ($x=0.375$) нулями функции. Промежуток $x \in (-2.7, 0.375)$.
- между третьим ($x=1.5$) и четвертым ($x=3.1$) нулями функции. Промежуток $x \in (1.5, 3.1)$.
Объединяем эти промежутки.
Ответ: функция принимает отрицательные значения при $x \in (-2.7, 0.375) \cup (1.5, 3.1)$.

1021. Постройте график функции:

а) $y = -2.5x;$

б) $y = 2x - 3;$

в) $y = -5;$

г) $y = -x + 4;$

д) $y = \frac{1}{2}x + 3;$

е) $y = \frac{2 - x}{4}.$

а) Функция $y = -2,5x$ является линейной функцией вида $y=kx$, ее график — прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения графика найдем координаты еще одной точки, принадлежащей этой прямой.
Пусть $x = 2$, тогда $y = -2,5 \cdot 2 = -5$.
Таким образом, мы имеем две точки: $(0, 0)$ и $(2, -5)$.
Соединив эти точки на координатной плоскости, мы получим график функции.
Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, -5)$.

б) Функция $y = 2x - 3$ является линейной функцией вида $y=kx+b$, ее график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек.
1. При $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Первая точка: $(0, -3)$.
2. При $x=2$, получаем $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Вторая точка: $(2, 1)$.
Проведем прямую через точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$ на координатной плоскости.
Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$.

в) Функция $y = -5$ является частным случаем линейной функции, где угловой коэффициент $k=0$. Для любого значения $x$ значение $y$ будет постоянным и равным $-5$.
График этой функции — прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, -5)$ на оси ординат (оси $Oy$).
Например, точки $(0, -5)$ и $(4, -5)$ лежат на этой прямой.
Ответ: График функции — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

г) Функция $y = -x + 4$ является линейной функцией, ее график — прямая линия. Для построения удобно найти точки пересечения графика с осями координат.
1. Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -0 + 4 = 4$. Точка пересечения: $(0, 4)$.
2. Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = -x + 4$, откуда $x = 4$. Точка пересечения: $(4, 0)$.
Проведем прямую через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.
Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

д) Функция $y = \frac{1}{2}x + 3$ является линейной функцией, ее график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек. Чтобы избежать дробных координат, выберем для $x$ четные значения.
1. При $x=0$, получаем $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3$. Первая точка: $(0, 3)$.
2. При $x=2$, получаем $y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Вторая точка: $(2, 4)$.
Проведем прямую через точки $(0, 3)$ и $(2, 4)$.
Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 4)$.

е) Преобразуем функцию $y = \frac{2-x}{4}$ к стандартному виду линейной функции $y=kx+b$.
$y = \frac{2}{4} - \frac{x}{4} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$.
Это линейная функция, ее график — прямая линия. Найдем две точки для построения.
1. При $x=2$, получаем $y = \frac{2-2}{4} = \frac{0}{4} = 0$. Первая точка: $(2, 0)$.
2. При $x=-2$, получаем $y = \frac{2-(-2)}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Вторая точка: $(-2, 1)$.
Проведем прямую через точки $(2, 0)$ и $(-2, 1)$.
Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки $(2, 0)$ и $(-2, 1)$.

1022. Функция $y = f(x)$ задана формулой $y = \frac{6 - 2x}{3}$. При каких значениях аргумента $x$:

a) $f(x) = 0$;

б) $f(x) < 0$;

в) $f(x) \ge 0$?

Постройте график этой функции.

Дана функция $y = f(x)$, заданная формулой $y = \frac{6 - 2x}{3}$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$:
$\frac{6 - 2x}{3} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен 3, что не равно нулю.
$6 - 2x = 0$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 3$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции отрицательно, необходимо решить неравенство $f(x) < 0$:
$\frac{6 - 2x}{3} < 0$
Так как знаменатель дроби $3$ является положительным числом, знак неравенства определяется знаком числителя. Умножим обе части неравенства на 3:
$6 - 2x < 0$
$-2x < -6$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2), знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 3$
Ответ: $f(x) < 0$ при $x \in (3; +\infty)$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции неотрицательно, необходимо решить неравенство $f(x) \ge 0$:
$\frac{6 - 2x}{3} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на 3:
$6 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -6$
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 3$
Ответ: $f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty; 3]$.

Преобразуем формулу функции к виду линейной функции $y = kx + b$:
$y = \frac{6 - 2x}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2x}{3} = 2 - \frac{2}{3}x$
Итак, $y = -\frac{2}{3}x + 2$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого подставим $x=0$:
$y = -\frac{2}{3} \cdot 0 + 2 = 2$
Получили точку A с координатами $(0; 2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого подставим $y=0$ (этот $x$ мы уже нашли в пункте а):
$0 = -\frac{2}{3}x + 2$
$\frac{2}{3}x = 2$
$x = 3$
Получили точку B с координатами $(3; 0)$.
Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить точки A(0; 2) и B(3; 0) и провести через них прямую линию.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки с координатами (0; 2) и (3; 0).

1023. Какие из линейных функций $y = -3x + 9$, $y = 5x$, $y = -7$, $y = 9x - 1$, $y = -x - 100$, $y = 1 + 5x$ являются:

a) возрастающими;

б) убывающими?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент. Характер монотонности функции, то есть является ли она возрастающей или убывающей, определяется знаком этого коэффициента.

• Если $k > 0$, функция является возрастающей на всей своей области определения.
• Если $k < 0$, функция является убывающей на всей своей области определения.
• Если $k = 0$, функция является постоянной (ее график — прямая, параллельная оси абсцисс), и она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Проанализируем каждую из данных функций, определив ее угловой коэффициент $k$:

1. Для $y = -3x + 9$: угловой коэффициент $k = -3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.
2. Для $y = 5x$: угловой коэффициент $k = 5$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
3. Для $y = -7$: это уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x - 7$. Угловой коэффициент $k = 0$. Функция является постоянной.
4. Для $y = 9x - 1$: угловой коэффициент $k = 9$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
5. Для $y = -x - 100$: угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.
6. Для $y = 1 + 5x$: перепишем в стандартном виде $y = 5x + 1$. Угловой коэффициент $k = 5$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Теперь сгруппируем функции в соответствии с вопросами.

а) возрастающими;

Возрастающими являются функции, у которых угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$). Из списка этим условиям удовлетворяют следующие функции:

• $y = 5x$ (так как $k=5$)
• $y = 9x - 1$ (так как $k=9$)
• $y = 1 + 5x$ (так как $k=5$)

Ответ: $y = 5x, y = 9x - 1, y = 1 + 5x$.

б) убывающими?

Убывающими являются функции, у которых угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$). Из списка этим условиям удовлетворяют следующие функции:

• $y = -3x + 9$ (так как $k=-3$)
• $y = -x - 100$ (так как $k=-1$)

Ответ: $y = -3x + 9, y = -x - 100$.