Страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

999. Оцените периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника, длины сторон которого $a$ см и $b$ см, если $14,3 \le a \le 14,4$ и $25,1 \le b \le 25,2$.

Оценка периметра P

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Нам даны оценки для сторон $a$ и $b$:
$14,3 \le a \le 14,4$
$25,1 \le b \le 25,2$
Чтобы оценить периметр, сначала сложим неравенства, чтобы найти границы для суммы $a+b$:
$14,3 + 25,1 \le a + b \le 14,4 + 25,2$
$39,4 \le a + b \le 39,6$
Теперь умножим все части полученного неравенства на 2, чтобы найти границы для периметра $P$:
$2 \cdot 39,4 \le 2(a + b) \le 2 \cdot 39,6$
$78,8 \le P \le 79,2$
Таким образом, периметр прямоугольника находится в пределах от 78,8 см до 79,2 см.

Ответ: $78,8 \le P \le 79,2$.

Оценка площади S

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Используем те же оценки для сторон $a$ и $b$:
$14,3 \le a \le 14,4$
$25,1 \le b \le 25,2$
Поскольку все значения в неравенствах положительные, мы можем их перемножить, чтобы найти границы для площади $S$.
Нижняя граница площади будет произведением нижних границ длин сторон:
$S_{min} = 14,3 \cdot 25,1 = 358,93$
Верхняя граница площади будет произведением верхних границ длин сторон:
$S_{max} = 14,4 \cdot 25,2 = 362,88$
Таким образом, получаем оценку для площади $S$:
$358,93 \le S \le 362,88$
Площадь прямоугольника находится в пределах от 358,93 см² до 362,88 см².

Ответ: $358,93 \le S \le 362,88$.

1000. Пользуясь тем, что $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ и $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$, оцените значение выражения:

а) $\sqrt{7} + \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{7} - \sqrt{5}$;

в) $\sqrt{35}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны следующие оценки:
$ 2,6 < \sqrt{7} < 2,7 $
$ 2,2 < \sqrt{5} < 2,3 $

а) Чтобы оценить значение суммы $ \sqrt{7} + \sqrt{5} $, сложим почленно данные неравенства. Согласно свойству сложения неравенств, если $a < x < b$ и $c < y < d$, то $a+c < x+y < b+d$.
Сложим левые и правые части исходных неравенств:
$ 2,6 + 2,2 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 2,7 + 2,3 $
Выполнив сложение, получаем:
$ 4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5,0 $
Ответ: $ 4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5,0 $.

б) Чтобы оценить значение разности $ \sqrt{7} - \sqrt{5} $, воспользуемся свойством вычитания неравенств. Если $a < x < b$ и $c < y < d$, то $a-d < x-y < b-c$.
Для этого из неравенства для $ \sqrt{7} $ вычтем неравенство для $ \sqrt{5} $. Левая граница разности будет равна разности левой границы первого неравенства и правой границы второго, а правая граница — разности правой границы первого и левой границы второго.
$ 2,6 - 2,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 2,7 - 2,2 $
Выполнив вычитание, получаем:
$ 0,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 0,5 $
Ответ: $ 0,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 0,5 $.

в) Чтобы оценить значение выражения $ \sqrt{35} $, представим его как произведение $ \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} $.
Поскольку все части исходных неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить. Согласно свойству умножения неравенств, если $0 < a < x < b$ и $0 < c < y < d$, то $ac < xy < bd$.
Перемножим левые и правые части исходных неравенств:
$ 2,6 \cdot 2,2 < \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} < 2,7 \cdot 2,3 $
Вычислим произведения:
$ 2,6 \cdot 2,2 = 5,72 $
$ 2,7 \cdot 2,3 = 6,21 $
Подставив результаты в неравенство, получаем:
$ 5,72 < \sqrt{35} < 6,21 $
Ответ: $ 5,72 < \sqrt{35} < 6,21 $.

1001. Решите неравенство:

а) $0,3(2m - 3) < 3(0,6m + 1,3)$;

б) $1,1(5x - 4) > 0,2(10x - 43)$;

в) $10 - 5(0,3a - 0,2) \ge 5 - 10(0,1a + 0,2)$;

г) $3,2(2b + 1) + 5,7 \le 7,3 - 1,6(3 - 5b)$;

д) $4,3x - \frac{1}{2}(2,8x - 0,6) > \frac{1}{3}(3x + 0,6) + 2,9x$;

е) $\frac{2}{5}(5,5m - 2) - 0,8m < 4,6m - \frac{3}{4}(3,6m - 1,6)$;

ж) $(2,1y + 2)(0,2y - 3) - (0,7y - 1)(0,6y + 4) \ge -83$;

з) $(1 - 3,6a)(0,2a + 3) + (4 + 0,9a)(0,8a + 10) \le 42,2$.

а) $0,3(2m - 3) < 3(0,6m + 1,3)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$0,3 \cdot 2m - 0,3 \cdot 3 < 3 \cdot 0,6m + 3 \cdot 1,3$
$0,6m - 0,9 < 1,8m + 3,9$
Сгруппируем слагаемые с переменной $m$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$-0,9 - 3,9 < 1,8m - 0,6m$
$-4,8 < 1,2m$
Разделим обе части на $1,2$ (знак неравенства не меняется, так как $1,2 > 0$):
$\frac{-4,8}{1,2} < m$
$-4 < m$
Ответ: $m \in (-4; +\infty)$.

б) $1,1(5x - 4) > 0,2(10x - 43)$
Раскроем скобки:
$1,1 \cdot 5x - 1,1 \cdot 4 > 0,2 \cdot 10x - 0,2 \cdot 43$
$5,5x - 4,4 > 2x - 8,6$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$5,5x - 2x > -8,6 + 4,4$
$3,5x > -4,2$
Разделим обе части на $3,5$ (знак неравенства не меняется):
$x > \frac{-4,2}{3,5}$
$x > -1,2$
Ответ: $x \in (-1,2; +\infty)$.

в) $10 - 5(0,3a - 0,2) \ge 5 - 10(0,1a + 0,2)$
Раскроем скобки:
$10 - 1,5a + 1 \ge 5 - a - 2$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$11 - 1,5a \ge 3 - a$
Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ влево, а числа вправо:
$-1,5a + a \ge 3 - 11$
$-0,5a \ge -8$
Разделим обе части на $-0,5$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$a \le \frac{-8}{-0,5}$
$a \le 16$
Ответ: $a \in (-\infty; 16]$.

г) $3,2(2b + 1) + 5,7 \le 7,3 - 1,6(3 - 5b)$
Раскроем скобки:
$6,4b + 3,2 + 5,7 \le 7,3 - 4,8 + 8b$
Приведем подобные слагаемые:
$6,4b + 8,9 \le 2,5 + 8b$
Сгруппируем слагаемые:
$8,9 - 2,5 \le 8b - 6,4b$
$6,4 \le 1,6b$
Разделим обе части на $1,6$ (знак не меняется):
$\frac{6,4}{1,6} \le b$
$4 \le b$
Ответ: $b \in [4; +\infty)$.

д) $4,3x - \frac{1}{2}(2,8x - 0,6) > \frac{1}{3}(3x + 0,6) + 2,9x$
Раскроем скобки:
$4,3x - 1,4x + 0,3 > x + 0,2 + 2,9x$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$2,9x + 0,3 > 3,9x + 0,2$
Сгруппируем слагаемые:
$0,3 - 0,2 > 3,9x - 2,9x$
$0,1 > x$
Ответ: $x \in (-\infty; 0,1)$.

е) $\frac{2}{5}(5,5m - 2) - 0,8m < 4,6m - \frac{3}{4}(3,6m - 1,6)$
Представим дроби в виде десятичных чисел: $\frac{2}{5}=0,4$ и $\frac{3}{4}=0,75$.
$0,4(5,5m - 2) - 0,8m < 4,6m - 0,75(3,6m - 1,6)$
Раскроем скобки:
$2,2m - 0,8 - 0,8m < 4,6m - 2,7m + 1,2$
Приведем подобные слагаемые:
$1,4m - 0,8 < 1,9m + 1,2$
Сгруппируем слагаемые:
$-0,8 - 1,2 < 1,9m - 1,4m$
$-2 < 0,5m$
Разделим обе части на $0,5$ (знак не меняется):
$\frac{-2}{0,5} < m$
$-4 < m$
Ответ: $m \in (-4; +\infty)$.

ж) $(2,1y + 2)(0,2y - 3) - (0,7y - 1)(0,6y + 4) \ge -83$
Раскроем скобки, перемножая многочлены:
$(0,42y^2 - 6,3y + 0,4y - 6) - (0,42y^2 + 2,8y - 0,6y - 4) \ge -83$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(0,42y^2 - 5,9y - 6) - (0,42y^2 + 2,2y - 4) \ge -83$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки:
$0,42y^2 - 5,9y - 6 - 0,42y^2 - 2,2y + 4 \ge -83$
Приведем подобные слагаемые (члены с $y^2$ взаимно уничтожаются):
$-8,1y - 2 \ge -83$
Перенесем $-2$ вправо:
$-8,1y \ge -81$
Разделим обе части на $-8,1$ и сменим знак неравенства:
$y \le \frac{-81}{-8,1}$
$y \le 10$
Ответ: $y \in (-\infty; 10]$.

з) $(1 - 3,6a)(0,2a + 3) + (4 + 0,9a)(0,8a + 10) \le 42,2$
Раскроем скобки:
$(0,2a + 3 - 0,72a^2 - 10,8a) + (3,2a + 40 + 0,72a^2 + 9a) \le 42,2$
Приведем подобные слагаемые в каждой группе:
$(-0,72a^2 - 10,6a + 3) + (0,72a^2 + 12,2a + 40) \le 42,2$
Сложим многочлены (члены с $a^2$ взаимно уничтожаются):
$(-10,6a + 12,2a) + (3 + 40) \le 42,2$
$1,6a + 43 \le 42,2$
Перенесем $43$ вправо:
$1,6a \le 42,2 - 43$
$1,6a \le -0,8$
Разделим обе части на $1,6$ (знак не меняется):
$a \le \frac{-0,8}{1,6}$
$a \le -0,5$
Ответ: $a \in (-\infty; -0,5]$.

1002. Решите неравенство:

а) $ \frac{4,2+2x}{3} > 1,5x - 1,1; $

б) $ 2,3a + 0,8 < \frac{5,8a+3,4}{2}; $

в) $ \frac{0,5-5y}{6} \ge \frac{0,6-5y}{4}; $

г) $ \frac{0,6m+1,2}{12} \le \frac{1,5m-2,5}{15}; $

д) $ \frac{1,3a-0,7}{4} - \frac{0,9a+0,3}{3} > 0; $

е) $ \frac{1,6-0,3y}{2} + \frac{4,4+1,5y}{5} < -4,05y. $

а) $ \frac{4,2 + 2x}{3} > 1,5x - 1,1 $

Для того чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 3:

$ 4,2 + 2x > 3(1,5x - 1,1) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 4,2 + 2x > 4,5x - 3,3 $

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой:

$ 4,2 + 3,3 > 4,5x - 2x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 7,5 > 2,5x $

Разделим обе части на 2,5. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

$ x < \frac{7,5}{2,5} $

$ x < 3 $

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

б) $ 2,3a + 0,8 < \frac{5,8a + 3,4}{2} $

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$ 2(2,3a + 0,8) < 5,8a + 3,4 $

Раскроем скобки в левой части:

$ 4,6a + 1,6 < 5,8a + 3,4 $

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$ 1,6 - 3,4 < 5,8a - 4,6a $

Приведем подобные слагаемые:

$ -1,8 < 1,2a $

Разделим обе части на 1,2:

$ a > \frac{-1,8}{1,2} $

$ a > -1,5 $

Ответ: $a \in (-1,5; +\infty)$.

в) $ \frac{0,5 - 5y}{6} \ge \frac{0,6 - 5y}{4} $

Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 4. НОК(6, 4) = 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$ 12 \cdot \frac{0,5 - 5y}{6} \ge 12 \cdot \frac{0,6 - 5y}{4} $

$ 2(0,5 - 5y) \ge 3(0,6 - 5y) $

Раскроем скобки:

$ 1 - 10y \ge 1,8 - 15y $

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$ 15y - 10y \ge 1,8 - 1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 5y \ge 0,8 $

Разделим обе части на 5:

$ y \ge \frac{0,8}{5} $

$ y \ge 0,16 $

Ответ: $y \in [0,16; +\infty)$.

г) $ \frac{0,6m + 1,2}{12} \le \frac{1,5m - 2,5}{15} $

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 15. НОК(12, 15) = 60. Умножим обе части неравенства на 60:

$ 60 \cdot \frac{0,6m + 1,2}{12} \le 60 \cdot \frac{1,5m - 2,5}{15} $

$ 5(0,6m + 1,2) \le 4(1,5m - 2,5) $

Раскроем скобки:

$ 3m + 6 \le 6m - 10 $

Сгруппируем слагаемые с переменной $m$ в правой части, а свободные члены — в левой:

$ 6 + 10 \le 6m - 3m $

Приведем подобные слагаемые:

$ 16 \le 3m $

Разделим обе части на 3:

$ m \ge \frac{16}{3} $

Ответ: $m \in [\frac{16}{3}; +\infty)$.

д) $ \frac{1,3a - 0,7}{4} - \frac{0,9a + 0,3}{3} > 0 $

Перенесем вторую дробь в правую часть неравенства, изменив ее знак:

$ \frac{1,3a - 0,7}{4} > \frac{0,9a + 0,3}{3} $

Найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 3. НОК(4, 3) = 12. Умножим обе части на 12:

$ 12 \cdot \frac{1,3a - 0,7}{4} > 12 \cdot \frac{0,9a + 0,3}{3} $

$ 3(1,3a - 0,7) > 4(0,9a + 0,3) $

Раскроем скобки:

$ 3,9a - 2,1 > 3,6a + 1,2 $

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$ 3,9a - 3,6a > 1,2 + 2,1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 0,3a > 3,3 $

Разделим обе части на 0,3:

$ a > \frac{3,3}{0,3} $

$ a > 11 $

Ответ: $a \in (11; +\infty)$.

е) $ \frac{1,6 - 0,3y}{2} + \frac{4,4 + 1,5y}{5} < -4,05y $

Найдем наименьший общий знаменатель для 2 и 5. НОК(2, 5) = 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$ 10 \cdot \left(\frac{1,6 - 0,3y}{2} + \frac{4,4 + 1,5y}{5}\right) < 10 \cdot (-4,05y) $

$ 5(1,6 - 0,3y) + 2(4,4 + 1,5y) < -40,5y $

Раскроем скобки:

$ 8 - 1,5y + 8,8 + 3y < -40,5y $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 16,8 + 1,5y < -40,5y $

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$ 1,5y + 40,5y < -16,8 $

$ 42y < -16,8 $

Разделим обе части на 42:

$ y < \frac{-16,8}{42} $

$ y < -0,4 $

Ответ: $y \in (-\infty; -0,4)$.

1003. При каких значениях b:

а) значения дроби $\frac{12 - 1,5b}{5}$ меньше соответствующих значений дроби $\frac{11 - 0,5b}{2}$;

б) значения дроби $\frac{1,4 + b}{4}$ больше соответствующих значений дроби $\frac{2,6 + 3b}{2}$;

в) значения дроби $\frac{6b - 1}{b}$ не превосходят значений дроби $\frac{16 - 2b}{9 - b}$?

а) Чтобы найти значения $b$, при которых значения дроби $\frac{12 - 1,5b}{5}$ меньше соответствующих значений дроби $\frac{11 - 0,5b}{2}$, составим и решим неравенство:

$\frac{12 - 1,5b}{5} < \frac{11 - 0,5b}{2}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не меняется.

$10 \cdot \frac{12 - 1,5b}{5} < 10 \cdot \frac{11 - 0,5b}{2}$

$2(12 - 1,5b) < 5(11 - 0,5b)$

Раскроем скобки:

$24 - 3b < 55 - 2,5b$

Сгруппируем слагаемые с переменной $b$ в одной части, а постоянные члены — в другой:

$2,5b - 3b < 55 - 24$

$-0,5b < 31$

Разделим обе части на -0,5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$b > \frac{31}{-0,5}$

$b > -62$

Ответ: $b > -62$.

б) Чтобы найти значения $b$, при которых значения дроби $\frac{1,4 + b}{4}$ больше соответствующих значений дроби $\frac{2,6 + 3b}{2}$, составим и решим неравенство:

$\frac{1,4 + b}{4} > \frac{2,6 + 3b}{2}$

Умножим обе части на 4. Знак неравенства не изменится.

$4 \cdot \frac{1,4 + b}{4} > 4 \cdot \frac{2,6 + 3b}{2}$

$1,4 + b > 2(2,6 + 3b)$

Раскроем скобки:

$1,4 + b > 5,2 + 6b$

Сгруппируем слагаемые:

$b - 6b > 5,2 - 1,4$

$-5b > 3,8$

Разделим обе части на -5, меняя знак неравенства:

$b < \frac{3,8}{-5}$

$b < -0,76$

Ответ: $b < -0,76$.

в) Условие "не превосходят" означает "меньше или равно" ($\le$). Составим неравенство:

$\frac{6b - 1}{b} \le \frac{16 - 2b}{9 - b}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $b \ne 0$ и $9 - b \ne 0$, откуда $b \ne 9$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{6b - 1}{b} - \frac{16 - 2b}{9 - b} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(9 - b)$:

$\frac{(6b - 1)(9 - b) - b(16 - 2b)}{b(9 - b)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{54b - 6b^2 - 9 + b - 16b + 2b^2}{b(9 - b)} \le 0$

$\frac{-4b^2 + 39b - 9}{b(9 - b)} \le 0$

Для удобства решения методом интервалов преобразуем дробь так, чтобы старшие коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе были положительными. Умножим числитель на -1 и знаменатель на -1 (значение дроби при этом не изменится):

$\frac{-(-4b^2 + 39b - 9)}{-b(9 - b)} \le 0 \Rightarrow \frac{4b^2 - 39b - 9}{b(b - 9)} \le 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: $4b^2 - 39b + 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-39)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1521 - 144 = 1377$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1377} = \sqrt{81 \cdot 17} = 9\sqrt{17}$.
Корни уравнения: $b_{1,2} = \frac{39 \pm 9\sqrt{17}}{8}$.
$b_1 = \frac{39 - 9\sqrt{17}}{8}$, $b_2 = \frac{39 + 9\sqrt{17}}{8}$.
Эти значения $b$ обращают числитель в ноль, поэтому они входят в решение (неравенство нестрогое).

2. Корни знаменателя: $b(b-9) = 0 \Rightarrow b = 0, b = 9$.
Эти значения $b$ не входят в ОДЗ, поэтому они не будут входить в решение (выколотые точки).

Расположим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания. Оценим значения корней: $\sqrt{17} \approx 4,12$, значит $b_1 \approx \frac{39 - 9 \cdot 4,12}{8} \approx \frac{1,92}{8} = 0,24$ и $b_2 \approx \frac{39 + 37,08}{8} \approx 9,51$.
Порядок корней: $0 < b_1 < 9 < b_2$.

Определим знаки выражения $\frac{4b^2 - 39b + 9}{b(b - 9)}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, b_1)$, $(b_1, 9)$, $(9, b_2)$, $(b_2, \infty)$.
Парабола $y=4b^2-39b+9$ ветвями вверх, она отрицательна между корнями $b_1$ и $b_2$.
Парабола $y=b(b-9)$ ветвями вверх, она отрицательна между корнями $0$ и $9$.

• Интервал $(0, b_1)$: числитель положителен, знаменатель отрицателен. Дробь отрицательна.
• Интервал $(9, b_2)$: числитель отрицателен, знаменатель положителен. Дробь отрицательна.

Нас интересуют промежутки, где дробь меньше или равна нулю. Это интервалы $(0, b_1]$ и $(9, b_2]$.

Ответ: $b \in (0, \frac{39 - 9\sqrt{17}}{8}] \cup (9, \frac{39 + 9\sqrt{17}}{8}]$.

1004. Решите неравенство:

a) $(5 - 2x)(\sqrt{6} - 3) < 0;$

б) $(4 - \sqrt{10})(3x + 1) > 0;$

в) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 + 7x} < 0;$

г) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{4 + 5x} > 0.$

а) Исходное неравенство: $(5 - 2x)(\sqrt{6} - 3) < 0$.
Это линейное неравенство, которое можно решить, определив знак постоянного множителя $(\sqrt{6} - 3)$.
Сравним числа $\sqrt{6}$ и $3$. Для этого сравним их квадраты: $(\sqrt{6})^2 = 6$ и $3^2 = 9$.
Так как $6 < 9$, то $\sqrt{6} < 3$. Следовательно, множитель $(\sqrt{6} - 3)$ является отрицательным числом.
Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Поскольку $(\sqrt{6} - 3) < 0$, для выполнения неравенства второй множитель $(5 - 2x)$ должен быть положительным.
Решим неравенство:
$5 - 2x > 0$
$-2x > -5$
При делении обеих частей на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-5}{-2}$
$x < 2.5$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие 2.5.
Ответ: $x \in (-\infty; 2.5)$.

б) Исходное неравенство: $(4 - \sqrt{10})(3x + 1) > 0$.
Определим знак постоянного множителя $(4 - \sqrt{10})$.
Сравним числа $4$ и $\sqrt{10}$. Сравним их квадраты: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$.
Так как $16 > 10$, то $4 > \sqrt{10}$. Следовательно, множитель $(4 - \sqrt{10})$ является положительным числом.
Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Поскольку $(4 - \sqrt{10}) > 0$, для выполнения неравенства второй множитель $(3x + 1)$ также должен быть положительным.
Решим неравенство:
$3x + 1 > 0$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, большие $-\frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 + 7x} < 0$.
Определим знак числителя $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$.
Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$. Так как $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$. Следовательно, числитель $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ является положительным числом.
Частное будет отрицательным, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель положителен, знаменатель $(2 + 7x)$ должен быть отрицательным.
Решим неравенство (знаменатель не может быть равен нулю, что уже учтено строгим знаком неравенства):
$2 + 7x < 0$
$7x < -2$
$x < -\frac{2}{7}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие $-\frac{2}{7}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7})$.

г) Исходное неравенство: $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{4 + 5x} > 0$.
Определим знак числителя $(\sqrt{7} - \sqrt{8})$.
Сравним числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{8}$. Так как $7 < 8$, то $\sqrt{7} < \sqrt{8}$. Следовательно, числитель $(\sqrt{7} - \sqrt{8})$ является отрицательным числом.
Частное будет положительным, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку числитель отрицателен, знаменатель $(4 + 5x)$ также должен быть отрицательным.
Решим неравенство:
$4 + 5x < 0$
$5x < -4$
$x < -\frac{4}{5}$
$x < -0.8$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие -0.8.
Ответ: $x \in (-\infty; -0.8)$.