Страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1011. Решите неравенство:

a) $x^2 + 2x - 15 < 0;$

б) $5x^2 - 11x + 2 \ge 0;$

в) $10 - 3x^2 \le 5x - 2;$

г) $(2x + 3)(2 - x) > 3;$

д) $2x^2 - 0,5 \le 0;$

е) $3x^2 + 3,6x > 0;$

ж) $(0,2 - x)(0,2 + x) < 0;$

з) $x(3x - 2,4) > 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x^2 + 2x - 15 < 0$, сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$; $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх. Неравенство имеет знак "меньше", поэтому решением будет интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-5; 3)$.

б) Решим неравенство $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$; $x_2 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 2$ направлены вверх ($a=5>0$). Неравенство имеет знак "больше или равно", поэтому решением будет объединение промежутков вне корней, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.2] \cup [2; +\infty)$.

в) Преобразуем неравенство $10 - 3x^2 \le 5x - 2$ к стандартному виду.
Перенесем все члены в одну сторону: $0 \le 3x^2 + 5x - 2 - 10$.
$3x^2 + 5x - 12 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 12 = 0$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 13}{6} = -3$; $x_2 = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x - 12$ направлены вверх ($a=3>0$). Решением неравенства $\ge 0$ будут значения $x$ вне интервала между корнями, включая корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(2x + 3)(2 - x) > 3$.
Раскроем скобки: $4x - 2x^2 + 6 - 3x > 3$.
Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону: $-2x^2 + x + 6 - 3 > 0 \implies -2x^2 + x + 3 > 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный: $2x^2 - x - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-4}{4} = -1$; $x_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 3$ направлены вверх ($a=2>0$). Решением неравенства $< 0$ будет интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-1; 1.5)$.

д) Решим неравенство $2x^2 - 0.5 \le 0$.
Это неполное квадратное неравенство. Перенесем свободный член вправо: $2x^2 \le 0.5$.
Разделим на 2: $x^2 \le 0.25$.
Это неравенство эквивалентно $|x| \le \sqrt{0.25}$, то есть $|x| \le 0.5$.
Таким образом, решение находится в пределах от -0.5 до 0.5, включая концы.

Ответ: $x \in [-0.5; 0.5]$.

е) Решим неравенство $3x^2 + 3.6x > 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3x + 3.6) > 0$.
Найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $x(3x + 3.6) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $3x + 3.6 = 0 \implies 3x = -3.6 \implies x_2 = -1.2$.
Парабола $y = 3x^2 + 3.6x$ имеет ветви вверх ($a=3>0$). Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.2) \cup (0; +\infty)$.

ж) Решим неравенство $(0.2 - x)(0.2 + x) < 0$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(0.2)^2 - x^2 < 0 \implies 0.04 - x^2 < 0$.
Перенесем $x^2$ вправо: $0.04 < x^2$ или $x^2 > 0.04$.
Это неравенство эквивалентно $|x| > \sqrt{0.04}$, то есть $|x| > 0.2$.
Решением является объединение двух интервалов: $x < -0.2$ и $x > 0.2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.2) \cup (0.2; +\infty)$.

з) Решим неравенство $x(3x - 2.4) > 0$.
Найдем корни, приравняв выражение к нулю: $x(3x - 2.4) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $3x - 2.4 = 0 \implies 3x = 2.4 \implies x_2 = 0.8$.
Раскрыв скобки, получим $3x^2 - 2.4x > 0$. Ветви параболы направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0.8; +\infty)$.

1012. Решите неравенство:

а) $(2x + 1)(x + 4) - 3x(x + 2) < 0;$

б) $(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) > 0;$

в) $(1 - 6x)(1 + 6x) + 7x(5x - 2) > 14;$

г) $(5x + 2)(x - 1) - (2x + 1)(2x - 1) < 27;$

д) $(2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6;$

е) $(3x - 1)x - (6 - x)(x + 6) < 37.$

а) $(2x + 1)(x + 4) - 3x(x + 2) < 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства и приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 + 8x + x + 4) - (3x^2 + 6x) < 0$
$2x^2 + 9x + 4 - 3x^2 - 6x < 0$
$-x^2 + 3x + 4 < 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x - 4 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $y > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; \infty)$.

б) $(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) > 0$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и распределительный закон:
$(9x^2 - 12x + 4) - (8x^2 - 12x) > 0$
$9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 4 > 0$
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $x$ ($x^2 \geq 0$). Поэтому сумма $x^2 + 4$ всегда будет больше или равна 4, а значит, всегда строго больше 0. Таким образом, неравенство выполняется для любого $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; \infty)$.

в) $(1 - 6x)(1 + 6x) + 7x(5x - 2) > 14$

Применим формулу разности квадратов и раскроем скобки:
$(1 - 36x^2) + (35x^2 - 14x) > 14$
$1 - 36x^2 + 35x^2 - 14x > 14$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:
$-x^2 - 14x + 1 - 14 > 0$
$-x^2 - 14x - 13 > 0$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$x^2 + 14x + 13 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 13 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -13$.
Ветви параболы $y = x^2 + 14x + 13$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-13; -1)$.

г) $(5x + 2)(x - 1) - (2x + 1)(2x - 1) < 27$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов и формулу разности квадратов:
$(5x^2 - 5x + 2x - 2) - (4x^2 - 1) < 27$
$5x^2 - 3x - 2 - 4x^2 + 1 < 27$
Приведем подобные слагаемые и перенесем константу в левую часть:
$x^2 - 3x - 1 < 27$
$x^2 - 3x - 28 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 28$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-4; 7)$.

д) $(2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6$

Используем формулу разности квадратов и раскроем скобки:
$(4x^2 - 1) - (x^2 + 4x) < 6$
$4x^2 - 1 - x^2 - 4x < 6$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 4x - 1 - 6 < 0$
$3x^2 - 4x - 7 < 0$
Решим уравнение $3x^2 - 4x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$
$x_1 = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
$x_2 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 7$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(-1; \frac{7}{3})$.

е) $(3x - 1)x - (6 - x)(x + 6) < 37$

Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов $(6-x)(6+x) = 36-x^2$:
$3x^2 - x - (36 - x^2) < 37$
$3x^2 - x - 36 + x^2 < 37$
Приведем подобные слагаемые и перенесем константу влево:
$4x^2 - x - 36 - 37 < 0$
$4x^2 - x - 73 < 0$
Решим уравнение $4x^2 - x - 73 = 0$ через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-73) = 1 + 1168 = 1169$
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1169}}{8}$.
Ветви параболы $y = 4x^2 - x - 73$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{1169}}{8}; \frac{1 + \sqrt{1169}}{8})$.

1013. Докажите, что при любых $x$:

а) трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает положительные значения;

б) трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает отрицательные значения;

в) трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает неотрицательные значения;

г) трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает неположительные значения.

а) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает положительные значения при любых $x$, рассмотрим его как квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 200$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1 > 0$). Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдём дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 200 = 9 - 800 = -791$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у трёхчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Это означает, что трёхчлен принимает только положительные значения при любых значениях $x$.
Другой способ (выделение полного квадрата):
$x^2 - 3x + 200 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 200 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 200 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{791}{4}$.
Выражение $(x - \frac{3}{2})^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Наименьшее значение этого слагаемого равно $0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + \frac{791}{4} = \frac{791}{4}$, что является положительным числом. Значит, трёхчлен всегда принимает положительные значения.
Ответ: Трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает только положительные значения, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает отрицательные значения при любых $x$, рассмотрим его как квадратичную функцию $y = -x^2 + 22x - 125$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ ($a=-1 < 0$). Найдём дискриминант $D$.
$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-125) = 484 - 500 = -16$.
Так как $D < 0$, у трёхчлена нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз, вся парабола лежит ниже оси Ox. Это означает, что трёхчлен принимает только отрицательные значения при любых значениях $x$.
Другой способ (выделение полного квадрата):
$-x^2 + 22x - 125 = -(x^2 - 22x + 125) = -((x^2 - 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2) - 11^2 + 125) = -((x - 11)^2 - 121 + 125) = -((x - 11)^2 + 4) = -(x - 11)^2 - 4$.
Выражение $(x - 11)^2$ всегда неотрицательно. Тогда $-(x-11)^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю). Наибольшее значение этого слагаемого равно $0$. Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно $0 - 4 = -4$, что является отрицательным числом. Значит, трёхчлен всегда принимает отрицательные значения.
Ответ: Трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает только отрицательные значения, что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает неотрицательные значения (то есть $\ge 0$) при любых $x$, заметим, что он представляет собой формулу квадрата разности.
Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:
$x^2 - 16x + 64 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = (x - 8)^2$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. То есть, $(x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Это означает, что трёхчлен принимает значения, большие или равные нулю, то есть неотрицательные значения.
Ответ: Трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает только неотрицательные значения, что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает неположительные значения (то есть $\le 0$) при любых $x$, преобразуем его, вынеся $-1$ за скобки.
$10x - x^2 - 25 = -(x^2 - 10x + 25)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности:
$x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$.
Следовательно, исходный трёхчлен можно записать как $-(x - 5)^2$.
Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-(x - 5)^2 \le 0$ для любого $x$.
Это означает, что трёхчлен принимает значения, меньшие или равные нулю, то есть неположительные значения.
Ответ: Трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает только неположительные значения, что и требовалось доказать.

1014. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0, \\ 2x - 5 \le 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0, \\ 2x - 9 \le 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ 3 - x \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 2x \ge 0, \\ 5x \ge 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0 \\ 2x - 5 \le 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое, квадратное неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-1, 3]$.

2. Решим второе, линейное неравенство: $2x - 5 \le 0$.
$2x \le 5$
$x \le \frac{5}{2}$
$x \le 2.5$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2.5]$.

3. Найдем пересечение полученных решений, так как это система неравенств.
Нужно найти пересечение множеств $[-1, 3]$ и $(-\infty, 2.5]$.
Общим решением является промежуток $[-1, 2.5]$.
Ответ: $[-1; 2.5]$

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ 2x - 9 \le 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое, квадратное неравенство: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не отрицательны (больше или равны нулю) на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе, линейное неравенство: $2x - 9 \le 0$.
$2x \le 9$
$x \le \frac{9}{2}$
$x \le 4.5$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 4.5]$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap (-\infty, 4.5]$.
Пересечение состоит из двух интервалов: $(-\infty, 2]$ и $[3, 4.5]$.
Общим решением является объединение этих интервалов: $(-\infty, 2] \cup [3, 4.5]$.
Ответ: $(-\infty; 2] \cup [3; 4.5]$

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 9 - x^2 \ge 0 \\ 3 - x \le 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.
Корни уравнения $9 - x^2 = 0$: $x^2=9$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = 9 - x^2$ является парабола с ветвями вниз. Значения функции не отрицательны на отрезке между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-3, 3]$.

2. Решим второе неравенство: $3 - x \le 0$.
$3 \le x$
$x \ge 3$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [3, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3, 3] \cap [3, \infty)$.
Единственной общей точкой этих двух множеств является число 3.
Общим решением является $x = 3$.
Ответ: $\{3\}$

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + 2x \ge 0 \\ 5x \ge 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $x^2 + 2x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(x+2) \ge 0$.
Корни уравнения $x(x+2) = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не отрицательны на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $5x \ge 0$.
$x \ge 0$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [0, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2] \cup [0, \infty)) \cap [0, \infty)$.
Пересечение этих множеств дает промежуток $[0, \infty)$.
Ответ: $[0; \infty)$

1015. Найдите целые решения системы неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 7x + 6 \le 0; \\ x^2 - 8x + 15 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 1 \ge 0, \\ x^2 - 6x + 8 \le 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 \le 0, \\ x^2 - 8x + 15 \ge 0. \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 7x + 6 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 7x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [1, 6]$.

2. Теперь решим второе неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Отсюда корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8x + 15$ также направлены вверх. Неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется вне промежутка между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы найти решение системы.

Нам нужно найти пересечение множеств $[1, 6]$ и $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

Пересечение этих множеств есть объединение интервалов $[1, 3]$ и $[5, 6]$. Итак, решение системы: $x \in [1, 3] \cup [5, 6]$.

4. Выберем все целые числа из полученного множества решений.

В промежуток $[1, 3]$ входят целые числа: 1, 2, 3.

В промежуток $[5, 6]$ входят целые числа: 5, 6.

Объединяя эти числа, получаем все целые решения системы.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 1 > 0, \\ x^2 - 6x + 8 \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 1 > 0$.

Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то неравенство $x^2 + 1 > 0$ справедливо для всех действительных чисел $x$. Решением этого неравенства является множество всех действительных чисел: $x \in (-\infty, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x + 8 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Решение второго неравенства: $x \in [2, 4]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Пересечением множеств $(-\infty, \infty)$ и $[2, 4]$ является промежуток $[2, 4]$.

4. Выберем все целые числа из полученного решения.

В промежуток $[2, 4]$ входят целые числа: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.

1016. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{12x - 4}$;

б) $\sqrt{3 - 0,6x}$;

в) $\sqrt{15 + 2x - x^2}$;

г) $\sqrt{2x^2 + x - 6}$;

д) $\sqrt{12 - 5x} + \sqrt{2x - 1}$;

е) $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{3x - 17}$?

а)

Выражение $\sqrt{12x - 4}$ имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Решим неравенство:

$12x - 4 \ge 0$

$12x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{12}$

$x \ge \frac{1}{3}$

Ответ: $x \ge \frac{1}{3}$.

б)

Выражение $\sqrt{3 - 0,6x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим неравенство:

$3 - 0,6x \ge 0$

$3 \ge 0,6x$

$x \le \frac{3}{0,6}$

$x \le 5$

Ответ: $x \le 5$.

в)

Выражение $\sqrt{15 + 2x - x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$15 + 2x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является отрезок $[-3; 5]$.

Ответ: $-3 \le x \le 5$.

г)

Выражение $\sqrt{2x^2 + x - 6}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$2x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 6 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = -2$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является объединение промежутков $(-\infty; -2] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \le -2 \text{ или } x \ge \frac{3}{2}$.

д)

Выражение $\sqrt{12 - 5x} + \sqrt{2x - 1}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 12 - 5x \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $12 - 5x \ge 0 \implies 12 \ge 5x \implies x \le \frac{12}{5} \implies x \le 2,4$.

Решим второе неравенство: $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2} \implies x \ge 0,5$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $[0,5; 2,4]$.

Ответ: $0,5 \le x \le 2,4$.

е)

Выражение $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{3x - 17}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4 \ge 0 \\ 3x - 17 \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно $4$. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе неравенство: $3x - 17 \ge 0 \implies 3x \ge 17 \implies x \ge \frac{17}{3}$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, которое совпадает с решением второго неравенства.

Ответ: $x \ge \frac{17}{3}$.

1017. Найдите область определения каждого из выражений:

а) $2x - 5$, $\frac{1}{2x - 5}$ и $\sqrt{2x - 5}$;

б) $2x^2 + 7x - 4$, $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$ и $\sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}}$;

в) $x^2 + 1$, $\sqrt{x^2 + 1}$ и $\frac{1}{x^2 + 1}$.

а) Для выражения $2x - 5$:
Это линейный многочлен, который определен для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\frac{1}{2x - 5}$:
Это дробно-рациональное выражение. Его область определения находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю.
$2x - 5 \neq 0$
$2x \neq 5$
$x \neq 2.5$
Ответ: $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

Для выражения $\sqrt{2x - 5}$:
Подкоренное выражение для квадратного корня должно быть неотрицательным.
$2x - 5 \ge 0$
$2x \ge 5$
$x \ge 2.5$
Ответ: $x \in [2.5; +\infty)$.

б) Для выражения $2x^2 + 7x - 4$:
Это квадратичный многочлен, который определен для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$, чтобы исключить их из области определения.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{4} = -4$; $x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме $-4$ и $0.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

Для выражения $\sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}}$:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как оно находится в знаменателе, оно должно быть строго положительным.
$2x^2 + 7x - 4 > 0$.
Графиком функции $y=2x^2 + 7x - 4$ является парабола с ветвями вверх (т.к. $a=2 > 0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, $x < -4$ или $x > 0.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

в) Для выражения $x^2 + 1$:
Это квадратичный многочлен, который определен для любых действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\sqrt{x^2 + 1}$:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, и, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для выражения $\frac{1}{x^2 + 1}$:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней ($x^2 = -1$). Знаменатель всегда положителен ($x^2 + 1 \ge 1$), поэтому он никогда не равен нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.