Номер 1015, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1015. Найдите целые решения системы неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 7x + 6 \le 0; \\ x^2 - 8x + 15 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 1 \ge 0, \\ x^2 - 6x + 8 \le 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 \le 0, \\ x^2 - 8x + 15 \ge 0. \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 7x + 6 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 7x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [1, 6]$.

2. Теперь решим второе неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Отсюда корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8x + 15$ также направлены вверх. Неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется вне промежутка между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы найти решение системы.

Нам нужно найти пересечение множеств $[1, 6]$ и $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

Пересечение этих множеств есть объединение интервалов $[1, 3]$ и $[5, 6]$. Итак, решение системы: $x \in [1, 3] \cup [5, 6]$.

4. Выберем все целые числа из полученного множества решений.

В промежуток $[1, 3]$ входят целые числа: 1, 2, 3.

В промежуток $[5, 6]$ входят целые числа: 5, 6.

Объединяя эти числа, получаем все целые решения системы.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 1 > 0, \\ x^2 - 6x + 8 \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 1 > 0$.

Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то неравенство $x^2 + 1 > 0$ справедливо для всех действительных чисел $x$. Решением этого неравенства является множество всех действительных чисел: $x \in (-\infty, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x + 8 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Решение второго неравенства: $x \in [2, 4]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Пересечением множеств $(-\infty, \infty)$ и $[2, 4]$ является промежуток $[2, 4]$.

4. Выберем все целые числа из полученного решения.

В промежуток $[2, 4]$ входят целые числа: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.