Номер 1008, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1008. Найдите целые решения системы неравенств:

а) $\begin{cases} (3x + 2)^2 \ge (3x - 1)(3x + 1) - 31, \\ (2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)^2 - 14; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (5x - 2)^2 + 36 > 5x(5x - 3), \\ 3x(4x + 2) + 40 \le 4x(3x + 7) - 4. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} (3x + 2)^2 \ge (3x - 1)(3x + 1) - 31 \\ (2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)^2 - 14 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство. Для этого раскроем скобки в обеих частях, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и разность квадратов):

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \ge (3x)^2 - 1^2 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 1 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 32$

Теперь перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$12x \ge -32 - 4$

$12x \ge -36$

Разделим обе части неравенства на 12:

$x \ge -3$

Теперь решим второе неравенство. Раскроем скобки:

$2x \cdot 8x + 2x \cdot 5 - 3 \cdot 8x - 3 \cdot 5 < (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 - 14$

$16x^2 + 10x - 24x - 15 < 16x^2 - 24x + 9 - 14$

$16x^2 - 14x - 15 < 16x^2 - 24x - 5$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ также взаимно уничтожаются:

$-14x + 24x < -5 + 15$

$10x < 10$

Разделим обе части на 10:

$x < 1$

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x \ge -3 \\ x < 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[-3; 1)$.

Требуется найти целые решения, которые принадлежат этому промежутку. Это числа -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} (5x - 2)^2 + 36 > 5x(5x - 3) \\ 3x(4x + 2) + 40 \le 4x(3x + 7) - 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Раскроем скобки:

$(25x^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 4) + 36 > 25x^2 - 15x$

$25x^2 - 20x + 40 > 25x^2 - 15x$

Приведем подобные слагаемые, члены с $x^2$ взаимно уничтожатся:

$40 > -15x + 20x$

$40 > 5x$

Разделим обе части на 5:

$8 > x$, что эквивалентно $x < 8$.

Теперь решим второе неравенство. Раскроем скобки:

$12x^2 + 6x + 40 \le 12x^2 + 28x - 4$

Приведем подобные слагаемые, члены с $x^2$ взаимно уничтожатся:

$40 + 4 \le 28x - 6x$

$44 \le 22x$

Разделим обе части на 22:

$2 \le x$, что эквивалентно $x \ge 2$.

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x < 8 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[2; 8)$.

Требуется найти целые решения, которые принадлежат этому промежутку. Это числа 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.