Номер 1005, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1005. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 5x - 2 > 2x + 1, \\ 2x + 3 < 18 - 3x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4y + 5 > y + 17, \\ y - 1 > 2y - 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 12y - 1 < 3 - 2y, \\ 5y < 2 - 11y; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 8x + 1 > 5x - 1, \\ 9x + 9 < 8x + 8. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 5x - 2 > 2x + 1 \\ 2x + 3 < 18 - 3x \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:

$5x - 2 > 2x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$5x - 2x > 1 + 2$

$3x > 3$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 > 0):

$x > 1$

Теперь решим второе неравенство:

$2x + 3 < 18 - 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$2x + 3x < 18 - 3$

$5x < 15$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$x < 3$

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение множеств решений каждого неравенства, то есть интервал, где $x$ одновременно больше 1 и меньше 3. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

б)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 4y + 5 > y + 17 \\ y - 1 > 2y - 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$4y + 5 > y + 17$

$4y - y > 17 - 5$

$3y > 12$

$y > 4$

Решим второе неравенство:

$y - 1 > 2y - 3$

$3 - 1 > 2y - y$

$2 > y$, что эквивалентно $y < 2$

Мы получили систему:

$\begin{cases} y > 4 \\ y < 2 \end{cases}$

Не существует числа, которое было бы одновременно больше 4 и меньше 2. Следовательно, пересечение множеств решений этих двух неравенств пусто.

Ответ: решений нет.

в)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 12y - 1 < 3 - 2y \\ 5y < 2 - 11y \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$12y - 1 < 3 - 2y$

$12y + 2y < 3 + 1$

$14y < 4$

$y < \frac{4}{14}$

$y < \frac{2}{7}$

Решим второе неравенство:

$5y < 2 - 11y$

$5y + 11y < 2$

$16y < 2$

$y < \frac{2}{16}$

$y < \frac{1}{8}$

Мы получили систему:

$\begin{cases} y < \frac{2}{7} \\ y < \frac{1}{8} \end{cases}$

Чтобы найти пересечение этих двух решений, сравним дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{8}$. Приведем их к общему знаменателю 56:

$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{16}{56}$

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{7}{56}$

Так как $\frac{7}{56} < \frac{16}{56}$, то $\frac{1}{8} < \frac{2}{7}$.

Решением системы является множество чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Если число меньше $\frac{1}{8}$, то оно автоматически будет меньше и $\frac{2}{7}$. Следовательно, решением системы является неравенство $y < \frac{1}{8}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{8})$.

г)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 8x + 1 > 5x - 1 \\ 9x + 9 < 8x + 8 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$8x + 1 > 5x - 1$

$8x - 5x > -1 - 1$

$3x > -2$

$x > -\frac{2}{3}$

Решим второе неравенство:

$9x + 9 < 8x + 8$

$9x - 8x < 8 - 9$

$x < -1$

Мы получили систему:

$\begin{cases} x > -\frac{2}{3} \\ x < -1 \end{cases}$

Так как $-\frac{2}{3}$ (приблизительно -0.67) больше, чем $-1$, не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше $-\frac{2}{3}$ и меньше $-1$. Пересечение множеств решений этих двух неравенств является пустым множеством.

Ответ: решений нет.