Номер 1006, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1006. Решите систему трёх неравенств:

a) $ \begin{cases} 2x + 5 > 3x - 1, \\ \frac{x}{3} > -1, \\ 10x < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 6x > x - 10, \\ 2x - 4 < 0, \\ 2x + 1 > x + 4. \end{cases} $

Для решения системы необходимо решить каждое из трех неравенств по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $2x + 5 > 3x - 1$.
Переносим члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$5 + 1 > 3x - 2x$
$6 > x$
Таким образом, $x < 6$. Решение этого неравенства — интервал $(-\infty; 6)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x}{3} > -1$.
Умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x > -3$
Решение этого неравенства — интервал $(-3; +\infty)$.

3. Решим третье неравенство: $10x < 0$.
Разделим обе части неравенства на 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x < 0$
Решение этого неравенства — интервал $(-\infty; 0)$.

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение интервалов $(-\infty; 6)$, $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$.
Для этого нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $x < 6$, $x > -3$ и $x < 0$.
На числовой прямой это будет область, где все три интервала пересекаются. Это интервал от -3 до 0, не включая концы.
Запишем это в виде двойного неравенства: $-3 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.

Для решения системы необходимо решить каждое из трех неравенств по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $6x > x - 10$.
$6x - x > -10$
$5x > -10$
$x > -2$
Решение этого неравенства — интервал $(-2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 4 < 0$.
$2x < 4$
$x < 2$
Решение этого неравенства — интервал $(-\infty; 2)$.

3. Решим третье неравенство: $2x + 1 > x + 4$.
$2x - x > 4 - 1$
$x > 3$
Решение этого неравенства — интервал $(3; +\infty)$.

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение интервалов $(-2; +\infty)$, $(-\infty; 2)$ и $(3; +\infty)$.
Ищем значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $x > -2$, $x < 2$ и $x > 3$.
Пересечение первых двух условий дает интервал $(-2; 2)$.
Теперь нужно найти пересечение этого результата с третьим условием: $(-2; 2) \cap (3; +\infty)$.
Не существует чисел, которые одновременно находятся в интервале от -2 до 2 и в то же время больше 3. Следовательно, пересечение этих множеств пустое.

Ответ: решений нет.