Номер 1010, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1010. При каких значениях переменной x:

a) значения двучлена $0,5 - 0,2x$ принадлежат промежутку $ \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$;

б) значения дроби $\frac{20x + 40}{3}$ принадлежат промежутку $[-100; 100]$?

а)

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения двучлена $0,5 - 0,2x$ принадлежат промежутку $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, необходимо решить двойное неравенство. Условие можно записать в виде:

$-\frac{1}{2} \le 0,5 - 0,2x \le \frac{1}{2}$

Сначала представим дроби в виде десятичных чисел, чтобы упростить вычисления: $-\frac{1}{2} = -0,5$ и $\frac{1}{2} = 0,5$.

Неравенство принимает вид:

$-0,5 \le 0,5 - 0,2x \le 0,5$

Вычтем $0,5$ из всех трех частей неравенства:

$-0,5 - 0,5 \le (0,5 - 0,2x) - 0,5 \le 0,5 - 0,5$

$-1 \le -0,2x \le 0$

Теперь разделим все части неравенства на $-0,2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-1}{-0,2} \ge \frac{-0,2x}{-0,2} \ge \frac{0}{-0,2}$

$5 \ge x \ge 0$

Для удобства восприятия запишем это неравенство в стандартном порядке, от меньшего числа к большему:

$0 \le x \le 5$

Это соответствует промежутку $[0; 5]$.

Ответ: $x \in [0; 5]$.

б)

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения дроби $\frac{20x + 40}{3}$ принадлежат промежутку $[-100; 100]$, нужно решить следующее двойное неравенство:

$-100 \le \frac{20x + 40}{3} \le 100$

Умножим все части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:

$-100 \cdot 3 \le (\frac{20x + 40}{3}) \cdot 3 \le 100 \cdot 3$

$-300 \le 20x + 40 \le 300$

Теперь вычтем 40 из всех частей неравенства:

$-300 - 40 \le 20x + 40 - 40 \le 300 - 40$

$-340 \le 20x \le 260$

Наконец, разделим все части неравенства на 20. Так как 20 является положительным числом, знаки неравенства также сохраняются:

$\frac{-340}{20} \le \frac{20x}{20} \le \frac{260}{20}$

$-17 \le x \le 13$

Это соответствует промежутку $[-17; 13]$.

Ответ: $x \in [-17; 13]$.