Номер 1014, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1014. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0, \\ 2x - 5 \le 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0, \\ 2x - 9 \le 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ 3 - x \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 2x \ge 0, \\ 5x \ge 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0 \\ 2x - 5 \le 0 \end{cases}$$ 1. Решим первое, квадратное неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-1, 3]$.

2. Решим второе, линейное неравенство: $2x - 5 \le 0$.
$2x \le 5$
$x \le \frac{5}{2}$
$x \le 2.5$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2.5]$.

3. Найдем пересечение полученных решений, так как это система неравенств.
Нужно найти пересечение множеств $[-1, 3]$ и $(-\infty, 2.5]$.
Общим решением является промежуток $[-1, 2.5]$.
Ответ: $[-1; 2.5]$

б) Решим систему неравенств: $$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ 2x - 9 \le 0 \end{cases}$$ 1. Решим первое, квадратное неравенство: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не отрицательны (больше или равны нулю) на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе, линейное неравенство: $2x - 9 \le 0$.
$2x \le 9$
$x \le \frac{9}{2}$
$x \le 4.5$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 4.5]$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap (-\infty, 4.5]$.
Пересечение состоит из двух интервалов: $(-\infty, 2]$ и $[3, 4.5]$.
Общим решением является объединение этих интервалов: $(-\infty, 2] \cup [3, 4.5]$.
Ответ: $(-\infty; 2] \cup [3; 4.5]$

в) Решим систему неравенств: $$\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0 \\ 3 - x \le 0 \end{cases}$$ 1. Решим первое неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.
Корни уравнения $9 - x^2 = 0$: $x^2=9$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = 9 - x^2$ является парабола с ветвями вниз. Значения функции не отрицательны на отрезке между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-3, 3]$.

2. Решим второе неравенство: $3 - x \le 0$.
$3 \le x$
$x \ge 3$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [3, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3, 3] \cap [3, \infty)$.
Единственной общей точкой этих двух множеств является число 3.
Общим решением является $x = 3$.
Ответ: $\{3\}$

г) Решим систему неравенств: $$\begin{cases} x^2 + 2x \ge 0 \\ 5x \ge 0 \end{cases}$$ 1. Решим первое неравенство: $x^2 + 2x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(x+2) \ge 0$.
Корни уравнения $x(x+2) = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не отрицательны на промежутках вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $5x \ge 0$.
$x \ge 0$
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [0, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2] \cup [0, \infty)) \cap [0, \infty)$.
Пересечение этих множеств дает промежуток $[0, \infty)$.
Ответ: $[0; \infty)$