Номер 1020, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1020. Ломаная ABCDE является графиком функции $y = f(x)$ (рис. 87). В каких промежутках эта функция принимает положительные значения и в каких — отрицательные?

Рис. 87

Для определения промежутков, в которых функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо найти точки, где график функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс (Ox). В этих точках, называемых нулями функции, значение функции равно нулю ($y = 0$).

Из графика видно, что функция определена на отрезке $x \in [-3.5, 4]$.

Сначала определим координаты вершин ломаной линии по графику:

Точка A: $(-3.5, 2)$
Точка B: $(-1.5, -3)$
Точка C: $(1, 1)$
Точка D: $(2.5, -2)$
Точка E: $(4, 3)$

Теперь найдем нули функции, составив и решив уравнение прямой для каждого отрезка ломаной, на котором происходит пересечение с осью Ox.

1. Отрезок AB. Уравнение прямой, проходящей через точки $A(-3.5, 2)$ и $B(-1.5, -3)$:
$\frac{y - y_A}{x - x_A} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \implies \frac{y - 2}{x + 3.5} = \frac{-3 - 2}{-1.5 - (-3.5)} = \frac{-5}{2} = -2.5$.
Найдем точку пересечения с осью Ox, подставив $y = 0$:
$\frac{-2}{x + 3.5} = -2.5 \implies -2 = -2.5(x + 3.5) \implies -2 = -2.5x - 8.75 \implies 2.5x = -6.75 \implies x = -2.7$.

2. Отрезок BC. Уравнение прямой, проходящей через точки $B(-1.5, -3)$ и $C(1, 1)$:
$\frac{y - y_C}{x - x_C} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} \implies \frac{y - 1}{x - 1} = \frac{1 - (-3)}{1 - (-1.5)} = \frac{4}{2.5} = 1.6$.
При $y = 0$: $\frac{-1}{x - 1} = 1.6 \implies -1 = 1.6x - 1.6 \implies 1.6x = 0.6 \implies x = \frac{0.6}{1.6} = \frac{3}{8} = 0.375$.

3. Отрезок CD. Уравнение прямой, проходящей через точки $C(1, 1)$ и $D(2.5, -2)$:
$\frac{y - y_C}{x - x_C} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} \implies \frac{y - 1}{x - 1} = \frac{-2 - 1}{2.5 - 1} = \frac{-3}{1.5} = -2$.
При $y = 0$: $\frac{-1}{x - 1} = -2 \implies -1 = -2(x - 1) \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$.

4. Отрезок DE. Уравнение прямой, проходящей через точки $D(2.5, -2)$ и $E(4, 3)$:
$\frac{y - y_E}{x - x_E} = \frac{y_E - y_D}{x_E - x_D} \implies \frac{y - 3}{x - 4} = \frac{3 - (-2)}{4 - 2.5} = \frac{5}{1.5} = \frac{10}{3}$.
При $y = 0$: $\frac{-3}{x - 4} = \frac{10}{3} \implies -9 = 10(x - 4) \implies -9 = 10x - 40 \implies 10x = 31 \implies x = 3.1$.

Нули функции: $x_1 = -2.7$, $x_2 = 0.375$, $x_3 = 1.5$, $x_4 = 3.1$.

Промежутки, в которых функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Анализируя график и найденные нули, определяем следующие промежутки:

- от точки $A$, где $x=-3.5$, до первого нуля $x=-2.7$. Так как в точке $x=-3.5$ значение $y=2>0$, этот промежуток $x \in [-3.5, -2.7)$.
- между вторым ($x=0.375$) и третьим ($x=1.5$) нулями функции. Промежуток $x \in (0.375, 1.5)$.
- от четвертого нуля $x=3.1$ до точки $E$, где $x=4$. Так как в точке $x=4$ значение $y=3>0$, этот промежуток $x \in (3.1, 4]$.
Объединяем эти промежутки.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in [-3.5, -2.7) \cup (0.375, 1.5) \cup (3.1, 4]$.

Промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на следующих промежутках:

- между первым ($x=-2.7$) и вторым ($x=0.375$) нулями функции. Промежуток $x \in (-2.7, 0.375)$.
- между третьим ($x=1.5$) и четвертым ($x=3.1$) нулями функции. Промежуток $x \in (1.5, 3.1)$.
Объединяем эти промежутки.
Ответ: функция принимает отрицательные значения при $x \in (-2.7, 0.375) \cup (1.5, 3.1)$.