Номер 1024, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1024. Каково взаимное расположение графиков линейных функций:

а) $y = 7x + 16$ и $y = 7x - 25$;

б) $y = 3.5x - 4$ и $y = -5x - 4$;

в) $y = -2.8x$ и $y = -2.8x + 11$;

г) $y = 0.6x + 8$ и $y = -0.6x$?

В каждом случае изобразите схематически графики этих линейных функций.

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики функций параллельны.
• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

а) $y = 7x + 16$ и $y = 7x - 25$

Для первой функции $y_1 = 7x + 16$ угловой коэффициент $k_1 = 7$ и свободный член $b_1 = 16$.
Для второй функции $y_2 = 7x - 25$ угловой коэффициент $k_2 = 7$ и свободный член $b_2 = -25$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = 7$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики этих функций параллельны.
Оба графика имеют положительный угловой коэффициент, значит, они являются возрастающими. График $y = 7x + 16$ пересекает ось OY в точке $(0, 16)$, а график $y = 7x - 25$ — в точке $(0, -25)$.

Ответ: графики функций параллельны.

б) $y = 3,5x - 4$ и $y = -5x - 4$

Для первой функции $y_1 = 3,5x - 4$ угловой коэффициент $k_1 = 3,5$ и свободный член $b_1 = -4$.
Для второй функции $y_2 = -5x - 4$ угловой коэффициент $k_2 = -5$ и свободный член $b_2 = -4$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики этих функций пересекаются.
Поскольку свободные члены равны ($b_1 = b_2 = -4$), графики пересекаются на оси OY в точке с координатами $(0, -4)$. График первой функции возрастающий ($k_1 > 0$), а второй — убывающий ($k_2 < 0$).

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(0, -4)$.

в) $y = -2,8x$ и $y = -2,8x + 11$

Для первой функции $y_1 = -2,8x$ (или $y = -2,8x + 0$) угловой коэффициент $k_1 = -2,8$ и свободный член $b_1 = 0$.
Для второй функции $y_2 = -2,8x + 11$ угловой коэффициент $k_2 = -2,8$ и свободный член $b_2 = 11$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = -2,8$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики этих функций параллельны.
Оба графика имеют отрицательный угловой коэффициент, значит, они являются убывающими. График $y = -2,8x$ проходит через начало координат $(0, 0)$, а график $y = -2,8x + 11$ пересекает ось OY в точке $(0, 11)$.

Ответ: графики функций параллельны.

г) $y = 0,6x + 8$ и $y = -0,6x$

Для первой функции $y_1 = 0,6x + 8$ угловой коэффициент $k_1 = 0,6$ и свободный член $b_1 = 8$.
Для второй функции $y_2 = -0,6x$ (или $y = -0,6x + 0$) угловой коэффициент $k_2 = -0,6$ и свободный член $b_2 = 0$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики этих функций пересекаются.
Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений:
$0,6x + 8 = -0,6x$
$1,2x = -8$
$x = -8 / 1,2 = -80 / 12 = -20 / 3$
Подставим значение $x$ во второе уравнение:
$y = -0,6 \cdot (-20/3) = -(6/10) \cdot (-20/3) = 120 / 30 = 4$
Точка пересечения имеет координаты $(-20/3, 4)$.
График первой функции возрастающий ($k_1 > 0$) и пересекает ось OY в точке $(0, 8)$. График второй функции убывающий ($k_2 < 0$) и проходит через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(-20/3, 4)$.