Номер 1031, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1031. Изобразите схематически график функции:

а) $y = ax + 5$ при $a < 0$;

б) $y = 10x + b$ при $b > 0$;

в) $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$;

г) $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$;

д) $y = ax^2 - 3$ при $a > 0$;

е) $y = ax^2 + 2$ при $a < 0$;

ж) $y = ax^2 + bx$ при $a > 0, b > 0$;

з) $y = ax^2 + bx$ при $a < 0, b > 0$.

а) Функция $y = ax + 5$ при $a < 0$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент $a$ отрицателен, следовательно, функция убывает, и прямая наклонена вниз при движении слева направо. Свободный член равен 5, значит, прямая пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0, 5)$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $(0, 5)$ и наклоненная вниз (убывающая). График расположен в I, II и IV координатных четвертях.

б) Функция $y = 10x + b$ при $b > 0$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент равен 10 (положительное число), следовательно, функция возрастает, и прямая наклонена вверх. Свободный член $b$ положителен, значит, прямая пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0, b)$, расположенной выше начала координат.
Ответ: Прямая, наклоненная вверх (возрастающая), пересекающая ось $Oy$ в точке с положительной ординатой. График расположен в I, II и III координатных четвертях.

в) Функция $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для графика.
Ответ: Гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

г) Функция $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k$ отрицателен, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для графика.
Ответ: Гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

д) Функция $y = ax^2 - 3$ при $a > 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как старший коэффициент $a$ положителен, ветви параболы направлены вверх. График функции $y = ax^2$ сдвинут на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

е) Функция $y = ax^2 + 2$ при $a < 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как старший коэффициент $a$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз. График функции $y = ax^2$ сдвинут на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз.

ж) Функция $y = ax^2 + bx$ при $a > 0, b > 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $x_0 < 0$. Парабола проходит через начало координат $(0, 0)$, так как при $x=0$, $y=0$. Вершина параболы, являясь точкой минимума, будет иметь отрицательную ординату. Таким образом, вершина находится в III координатной четверти.
Ответ: Парабола, проходящая через начало координат, с ветвями вверх и вершиной в III координатной четверти.

з) Функция $y = ax^2 + bx$ при $a < 0, b > 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Поскольку $a < 0$ и $b > 0$, то $x_0 > 0$. Парабола проходит через начало координат $(0, 0)$. Вершина параболы, являясь точкой максимума, будет иметь положительную ординату. Таким образом, вершина находится в I координатной четверти.
Ответ: Парабола, проходящая через начало координат, с ветвями вниз и вершиной в I координатной четверти.